Si $x^2$ no es uniformemente continua, ¿cómo se cumple este teorema?

Question

Estoy estudiando el cálculo de Spivak. El tema continuidad uniforme estaba en un Apéndice y me pareció aburrido comparado con los otros temas. Así que recurrí al stackexchange de matemáticas en busca de explicaciones más claras e intuitivas, como siempre. Hay muchas preguntas en este sitio y veo que mucha gente como yo está confundida sobre este tema de una manera u otra. Por ejemplo,

Aquí : Se afirma que $x^2$ no es uniformemente continua en la recta real.

Aquí : Se afirma que $\delta$ no puede depender de $x$ (debería depender únicamente de $\varepsilon$ ) para una continuidad uniforme. También existe una gráfico en las respuestas explicando por qué $x^2$ no es uniformemente continua.

Pero aquí : Se demuestra un teorema que conocí estudiando el cálculo de Spivak. El teorema afirma que:

Si $f$ es continua en $[a,b]$ entonces $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$ .

Entonces, ¿qué pasa con $f(x)=x^2$ ? Sabemos que es continua. Si definimos $x^2$ en un intervalo $[a,b]$ ¿será uniformemente continua en [a,b] pero no uniformemente continua en la recta real? Si definimos $x^2$ en un intervalo, podemos hacer $\delta$ independiente de $x$ como se indica como requisito más arriba? Estoy realmente confundido, ¿qué está pasando aquí?

Answer 1

Prueba para que comprenda y compruebe que $\;f(x)=x^2\;$ no es u.c. en $\;[0,\infty)\;$ :

$$x_n:=\sqrt n\implies |x_{n+1}-x_n|\xrightarrow[n\to\infty]{}0\;,\;\;\text{yet nevertheless}\;\;|f(x_{n+1})-f(x_n)|\rlap{\;\;\;\;\;/}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$$

Answer 2

$\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\eps}{\varepsilon}$ La continuidad uniforme es una propiedad "global", que depende no sólo de la(s) fórmula(s) que define(n) una función, sino también del dominio $X$ . Para ver por qué, compare las definiciones de " $f$ es continua en $X$ " y " $f$ es uniformemente continua en $X$ ":

• Por cada $x$ en $X$ y cada $\eps > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que si $y \in X$ y $|x - y| < \delta$ entonces $|f(x) - f(y)| < \eps$ . (Aquí, $\delta$ depende implícitamente tanto de $\eps$ y $x$ puede existir o no un límite inferior positivo para $\delta$ como $x$ oscila entre $X$ .)

• Por cada $\eps > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que si $x$ , $y$ están en $X$ y $|x - y| < \delta$ entonces $|f(x) - f(y)| < \eps$ . (Aquí, $\delta$ depende únicamente de $\eps$ ; a solo $\delta$ "funciona" para cada $x$ en $X$ . Que esta condición sea cierta o no puede depender del conjunto $X$ .)

Consideremos la función de elevar al cuadrado, $f(x) = x^{2}$ en un dominio indeterminado $X \subseteq \Reals$ . Desde $$ |f(x) - f(y)| = |x^{2} - y^{2}| = |x - y|\, |x + y|, $$ $f$ es uniformemente continua si $X$ está limitada: Si $X \subset [-M, M]$ entonces $|x + y| \leq |x| + |y| \leq 2M$ en $X$ por la desigualdad del triángulo. Para cada $\eps > 0$ podemos elegir $\delta = \eps/(2M)$ para ver $f$ es uniformemente continua. (Acotamiento de $X$ no es necesario; piense en lo que ocurre para $X = \mathbf{Z}$ el conjunto de los números enteros: Se puede tomar $\delta = 1/2$ independientemente de la función que esté considerando .)

Otro ejemplo suele sorprender a los alumnos la primera vez que lo ven, y puede poner de relieve la naturaleza global (dependiente del dominio) de la continuidad uniforme: Sea $X = \Reals \setminus\{0\}$ y defina $\sgn:X \to \Reals$ por $$ \sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1 & \text{if $x > 0$,} \\ -1 & \text{if $x < 0$.} \end{cases} $$ La función $\sgn$ es localmente constante : Para cada $x_{0}$ , $\sgn$ es constante en el intervalo abierto con puntos extremos $0$ y $2x_{0}$ es "lo más continuo que se puede conseguir", puntualmente.

Pero $\sgn$ es no uniformemente continua en $X$ : Para cada $\delta > 0$ los puntos $x = -\delta/3$ y $y = \delta/3$ satisfacer $|x - y| < \delta$ pero son de signo opuesto, por lo que $|\sgn(x) - \sgn(y)| = 2$ .

Os dejo la diversión de analizar la misma fórmula en el plató $\Reals\setminus[0, 0.0001]$ obtenido eliminando un intervalo de longitud positiva que contenga $0$ .

Answer 3

Lo que has dicho es exactamente correcto, que $\delta$ pueden seleccionarse independientemente en intervalos acotados, pero no en los no acotados. Tienes la imagen de tu enlace que consideras, pero si quieres más lo que deberías pensar es esto - para $x^2$ el $\delta$ que debe utilizar se hace más pequeño (a $0$ ) en función del tamaño del intervalo. Para un intervalo acotado, esto significa que puede elegir un $\delta$ pero para una no limitada se utilizaría " $\delta = 0$ ", que por supuesto no funciona.

Estoy seguro de que hay una manera más elegante de ver esto, pero esto se puede observar desde el cálculo. $$|x^2-x_0^2| = |x-x_0||x+x_0|$$ Entonces, por el teorema del valor medio hay un $c$ entre $x$ y $x_0$ obedeciendo a $$|2c| = \frac{|x^2 - x_0^2|}{|x-x_0|} = |x+x_0|$$ Supongamos que tuviéramos una manera de elegir $\delta$ basado en $\epsilon$ para que $|x-x_0| < \delta$ garantiza $|x^2-x_0^2\ < \epsilon$ para cualquier $x_0$ . Bueno, entonces tendríamos $$2|c||x-x_0| = |x+x_0||x-x_0| = |x^2 - x_0^2| < \epsilon$$ Pero esto significa $$\delta = |x-x_0| < \frac{\epsilon}{2|c|}$$ Y como $x_0 \to \infty$ el lado derecho va a $0$ ya que $c$ vive cerca de $x_0$ .