He estado pensando en esto por un tiempo, y parece que no puede encontrar alguna manera de hacerlo a pesar de la afirmación de sí mismo parecer obvio. El problema es:
Deje $f:[0,1] \to \mathbb{R}^n$ ser un mapa continuo, no necesariamente inyectiva, de tal manera que $f(0) \not = f(1)$. Deje $Y$ denotar la imagen de $f$ como un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$. Entonces existe un inyectiva mapa de $g:[0,1] \to Y$ tal que $g(0) = f(0)$$g(1) = f(1)$.
Obviamente, el problema es trivial en muchos casos, pero se hace difícil cuando se considera "salvaje" en las curvas. A continuación voy a hablar de cómo me ha tratado de resolver, pero ignóralo si usted sabe la respuesta.
Mi primera idea era empezar el lema de Zorn argumento mediante una secuencia de mapas de $f_0,f_1,f_2,f_3,\dots$ $f_0 = f$ $f_0([0,1]) \supseteq f_1([0,1]) \supseteq f_2([0,1]) \supseteq \cdots$ y tratando de encontrar un enlace de la cadena, pero parece que esta falla porque dado compacto trayectoria-conectado subconjuntos $X_0,X_1,\dots$ donde $X_0 \supseteq X_1 \supseteq \cdots$, la intersección $\bigcap_{k=1}^\infty X_k$ no es necesariamente ruta de acceso conectado. Por ejemplo, si $S \subset \mathbb{R}^2$ es un segmento de la (cerrado) topologist de la curva sinusoidal, entonces la familia $S \cup \bar{B}_{1/n}(0)$ proporcione un contraejemplo.
El otro enfoque parecía estar tratando de definir una secuencia de funciones de $f_0,f_1,\dots$ donde cada una de las $f_n$ está "más cerca" de ser inyectiva que la anterior, y de tal manera que la secuencia converge en algunos de manera significativa a una función inyectiva, o al menos a una función que nos permite utilizar un método más sencillo para terminar el problema. Sin embargo, yo realmente no sé lo suficiente de análisis para seguir adelante con este enfoque, por lo que estoy pidiendo ayuda aquí. Cualquier solución sería genial, y las soluciones de un método similar a lo que he mencionado más arriba, sería doblemente apreciado.
