Queridos todos,
Tengo una pregunta probablemente bastante sencilla: Supongamos que tenemos una matriz $ M\in SL_2(\mathbb{Q}) $ . ¿El grupo $ M^{-1} SL_2(\mathbb{Z}) M \cap SL_2(\mathbb{Z})$ tienen siempre un índice finito en $SL_2(\mathbb{Z})$ ? ¿Por qué? ¿Por qué no?
Realmente no he sido capaz de resolver este problema.
Todo lo mejor Karl
A mí, por lo menos, no me entusiasman los comentarios esnobistas. Responde de una vez a la pregunta en lugar de lanzar indirectas y emitir juicios.
La respuesta es sí para $\text{SL}(n,\mathbb{Z})$ . Sea $d$ sea el producto de los denominadores de las matrices $M$ y $M^{-1}$ . Sea $\Gamma_d \subseteq \text{SL}(n,\mathbb{Z})$ sea el subgrupo de matrices de la forma $I+dA$ . Este subgrupo tiene índice finito porque es el núcleo del homomorfismo de congruencia $$\text{SL}(n,\mathbb{Z}) \longrightarrow \text{SL}(n,\mathbb{Z}/d),$$ cuyo objetivo es un grupo finito. Por otra parte, $M\Gamma_dM^{-1} \subseteq \text{SL}(n,\mathbb{Z})$ porque $MIM^{-1} = I$ y $dMAM^{-1}$ es una matriz entera. Así pues, la intersección en cuestión tiene índice finito porque contiene $\Gamma_d$ como subgrupo.
El argumento es bastante general: Se puede sustituir $\text{SL}$ por otros grupos algebraicos definidos sobre $\mathbb{Z}$ y puede sustituir $\mathbb{Z}$ por cualquier anillo de campo numérico y $\mathbb{Q}$ por el campo numérico correspondiente.
Hay una segunda prueba que Tony Scholl insinúa en los comentarios. Probablemente sea secretamente equivalente al argumento que escribe Greg, pero me resulta más fácil pensar en él.
$SL_2(\mathbb{Z})$ es el subgrupo de $SL_2(\mathbb{Q})$ preservando la red $L_1:=\mathbb{Z}^2$ en $\mathbb{Q}^2$ . Del mismo modo, $M SL_2(\mathbb{Z}) M^{-1}$ es el gorup de matrices que preservan $L_2 := M \cdot L_1$ . Así que el grupo que nos interesa es el grupo de matrices que envían $L_1$ y $L_2$ a sí mismos.
Elija un número entero $N$ tal que $L_1 \cap L_2 \supseteq N L_1$ y $L_1 + L_2 \subseteq N^{-1} L_1$ . Sea $\Gamma$ sea el subgrupo de $SL_2(\mathbb{Z})$ que actúa trivialmente sobre $L_1/ N^2 L_1$ . El subgrupo $\Gamma$ tiene índice finito ya que es el núcleo de $SL_2(\mathbb{Z}) \to SL_2(\mathbb{Z}/N^2)$ .
Ahora, $\Gamma$ estabiliza $N L_1$ y $N^{-1} L_1$ y actúa trivialmente sobre $(N^{-1} L_1)/(N L_1)$ . En particular, cualquier red $K$ con $N^{-1} L_1 \supseteq K \supseteq N L_1$ se llevará a sí mismo por $\Gamma$ . Elegimos $N$ para que $L_2$ se encuentra entre $N^{-1} L_1$ y $N L_1$ . Así que $\Gamma$ toma $L_2$ a sí misma, y deducimos que $\Gamma$ está contenido en el grupo que nos interesa. El grupo que nos interesa tiene el índice $\leq [SL_2(\mathbb{Z}) : \Gamma]$ en $SL_2(\mathbb{Z})$ .
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