Me interesan las estructuras de bucle infinito en el espacio proyectivo de dimensión infinita $\mathbb{R} P^\infty$ . ¿Es único? Creo que esto tiene que saberse en la obra de mayo, y si es así, entonces supongo que su prueba debe reducirse a algún hecho simple. ¿Puede alguien darme algún consejo sobre esto, y el simple hecho de que se puede esperar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esencialmente por definición, la categoría de espacios de bucles infinitos es equivalente a la categoría de $(-1)$ -espectros conectados. Por lo tanto, está preguntando por $(-1)$ -espectros conectados $X$ tal que existe una equivalencia $\Omega^\infty X\simeq\mathbb{R}P^\infty$ de espacios (ignorando cualquier estructura de bucle infinito). De tal equivalencia vemos que $\pi_*X$ es lo mismo que $\pi_*\mathbb{R}P^\infty$ y, por tanto, consiste en un único $\mathbb{Z}/2$ en grado $1$ . Por lo tanto, sólo hay una posibilidad para $X$ por el argumento estándar para la unicidad de los espectros de Eilenberg-MacLane.
