Conmutador de dos subgrupos normales con intersecciones triviales

Question

He intentado buscar por todas partes pero estoy muy perdido con esta prueba. Necesito para demostrar que:

Sea $H$ , $K$ sean subgrupos normales de un grupo $G$ , satisfaciendo $H\cap K = \{e\}$ . Sea $h\in H$ , $k \in K$ .

(a) Demuestre que el conmutador $w = hkh^{-1}k^{1}$ satisface $w \in H$ y $w \in K$ . Entonces concluya que $w = e$

(b) Demuestre que $hk = kh$ para todos $h \in H$ , $k \in K$ .

Answer 1

(a) Puesto que $K$ es normal $hkh^{-1}\in K$ y por lo tanto $hkh^{-1}k^{-1}\in K$ . El mismo argumento demuestra que $hkh^{-1}k^{-1}\in H$ .

(b) $hkh^{-1}k^{-1}=e\implies hkh^{-1}=k\implies hk=kh$ .

Answer 2

Para (a), observe que $hkh^{-1} \in K$ desde $K$ es normal. Como $K$ es un subgrupo, ahora se ve que $hkh^{-1}k^{-1} \in K$ . La reclamación sobre $H$ la adhesión se demuestra de la misma manera. Dado que $w \in H \cap K = \{e\}$ no hay más remedio que $w=e$ .

Answer 3

Dato adicional pero útil: puesto que los subgrupos $H$ y $K$ son normales, también $HK=\{hk : h \in H, k \in K\}$ es un subgrupo normal. Si $H \cap K = \{e\}$ entonces $HK \cong H \times K$ El producto directo de $H$ y $K$ .