Sea S⊂X sea un subconjunto de un espacio lineal normado tal que supx∈S|f(x)|<∞ para todos f∈X∗ el dual continuo de X . Demostrar que el conjunto S está limitada.
Por definición S está acotado si d(S)<M para algunos 0<M∈R donde d(S) indica el diámetro. Ya he demostrado que esto es equivalente a supx∈S‖ en el ejercicio anterior, así que probablemente debería usarlo aquí, pero no sé cómo.
También pensé en utilizar Hahn-Banach: sé que para cada a\in S hay f_a\in X^* tal que f_a(a)=\|a\| y \|f_a\|=1 pero no puedo usar la segunda condición. Lo que puedo mostrar es
\|a\|=f_a(a)\leq\sup_{x\in S}|f_a(x)|<\infty.
Pero se que no se que pasara si tomo el supremum en ambos lados. ¿Cómo puedo ver que el lado derecho permanece acotado?