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Acotamiento de un subconjunto mediante el acotamiento de funcionales lineales

Sea SX sea un subconjunto de un espacio lineal normado tal que supxS|f(x)|< para todos fX el dual continuo de X . Demostrar que el conjunto S está limitada.

Por definición S está acotado si d(S)<M para algunos 0<MR donde d(S) indica el diámetro. Ya he demostrado que esto es equivalente a supxS en el ejercicio anterior, así que probablemente debería usarlo aquí, pero no sé cómo.

También pensé en utilizar Hahn-Banach: sé que para cada a\in S hay f_a\in X^* tal que f_a(a)=\|a\| y \|f_a\|=1 pero no puedo usar la segunda condición. Lo que puedo mostrar es

\|a\|=f_a(a)\leq\sup_{x\in S}|f_a(x)|<\infty.

Pero se que no se que pasara si tomo el supremum en ambos lados. ¿Cómo puedo ver que el lado derecho permanece acotado?

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Lorenzo Q. Puntos 18

Para todos x\in S definir la evaluación funcional J_x\in X^{**} dado por J_x(f)=f(x),\qquad \forall f\in X^* Tenemos \|J_x\|_{X^{**}}=\|x\| de modo que S está acotado si \sup_{x\in S}\|J_x\|_{X^{**}}=\sup_{x\in S}\|x\|<\infty Aquí el \sup abarca las normas de operadores de una familia de funcionales \left\{J_x\right\}_{x\in S} .

¿Recuerda algún resultado general del análisis funcional que permita deducir (bajo ciertos supuestos) que una familia de funcionales (u operadores) está acotada en la norma del operador?

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