Acotamiento de un subconjunto mediante el acotamiento de funcionales lineales

Question

Sea $S\subset X$ sea un subconjunto de un espacio lineal normado tal que $\sup_{x\in S} |f(x)|<\infty$ para todos $f\in X^*$ el dual continuo de $X$ . Demostrar que el conjunto $S$ está limitada.

Por definición $S$ está acotado si $d(S)<M$ para algunos $0<M\in\mathbb{R}$ donde $d(S)$ indica el diámetro. Ya he demostrado que esto es equivalente a $\sup_{x\in S}\|x\|<\infty$ en el ejercicio anterior, así que probablemente debería usarlo aquí, pero no sé cómo.

También pensé en utilizar Hahn-Banach: sé que para cada $a\in S$ hay $f_a\in X^*$ tal que $f_a(a)=\|a\|$ y $\|f_a\|=1$ pero no puedo usar la segunda condición. Lo que puedo mostrar es

$$\|a\|=f_a(a)\leq\sup_{x\in S}|f_a(x)|<\infty.$$

Pero se que no se que pasara si tomo el supremum en ambos lados. ¿Cómo puedo ver que el lado derecho permanece acotado?

Answer 1

Para todos $x\in S$ definir la evaluación funcional $J_x\in X^{**}$ dado por $$J_x(f)=f(x),\qquad \forall f\in X^* $$ Tenemos $\|J_x\|_{X^{**}}=\|x\|$ de modo que $S$ está acotado si $$\sup_{x\in S}\|J_x\|_{X^{**}}=\sup_{x\in S}\|x\|<\infty $$ Aquí el $\sup$ abarca las normas de operadores de una familia de funcionales $\left\{J_x\right\}_{x\in S}$ .

¿Recuerda algún resultado general del análisis funcional que permita deducir (bajo ciertos supuestos) que una familia de funcionales (u operadores) está acotada en la norma del operador?