¿Una asíntota vertical significa que no es una función?

Question

Sé que una función se define como algo donde cada entrada tiene una salida única, pero ¿"indefinido" o "infinito" cuentan como una salida única?

En otras palabras, ¿una función recíproca contaría como una función formalmente definida? ¿O no, debido a la asíntota?

Answer 1

A la hora de definir una función, es fundamental tener en cuenta el conjunto de entrada (el dominio) y el conjunto de salida (el codominio). La noción de "indefinido" no es una salida única porque no es un punto en ningún tipo de codominio. En algunos casos especiales, podemos definir una salida específica de una función como el infinito (o un punto "en el infinito"), pero no consideramos que una función esté bien definida si la función no tiene sentido para algún punto del dominio.

Para responder a su otra pregunta, consideremos únicamente funciones que introducen números reales y emiten números reales. La función recíproca es ciertamente una función bien definida, pero sólo en dominios que no incluyen el punto cero. Alrededor de la asíntota, la función se comporta bien, y podemos decir que está bien definida allí porque los puntos que se acercan a la asíntota son la salida de números que se acercan a cero. Es sólo en el punto cero donde tenemos un problema.

Así que la respuesta a tu pregunta es que puede ser ambas cosas. Si el cero está en nuestro dominio, entonces no tenemos una función bien definida. Si cero no está en nuestro dominio, entonces tenemos una función bien definida.