Matriz de transformación alternativa para la transformación de similitudes

Question

Un par de matrices cuadradas $X$ y $Y$ se llaman similar si existe una matriz no singular $T$ tal que $T^{-1}XT=Y$ retiene. Se sabe que la matriz de transformación $T$ no es único para $X$ y $Y$ . Sólo me pregunto si esas matrices de transformación no únicas tendrían alguna relación entre sí, como tener vectores columna con las mismas direcciones...

Lo que quiero decir es: Dado $X$ y $Y$ un par de matrices similares, si $S$ y $T$ son dos posibles matrices de transformación que satisfacen $S^{-1}XS = T^{-1}XT = Y$ ¿existe alguna relación genérica (aparte de la escala) entre $T$ y $S$ (por ejemplo, la dirección de los vectores columna)?

Un ejemplo concreto $X = \begin{bmatrix} A & BK\\ C & 0 \end{bmatrix}$ y $Y = \begin{bmatrix} A+A^{-1}BKC & -A^{-1}BKCA^{-1}B\\ KC & -KCA^{-1}B \end{bmatrix}$ . Suponiendo que $K$ sea invertible se puede demostrar que $X$ y $Y$ son similar con matriz de transformación $T = \begin{bmatrix} I & -A^{-1}B\\ 0 & K^{-1} \end{bmatrix}$ . ¿Puede haber otra matriz $S$ que será independiente de $K$ y resultaría $S^{-1}XS=Y$ ?

Answer 1

Siempre puede utilizar $S=\alpha\,T$ con $\alpha$ algún escalar distinto de cero no igual a uno. Otra forma de encontrar más soluciones es utilizando la función Producto de Kronecker lo que permite escribir la transformación como

\begin{align} X\,T &= T\,Y \\ (I \otimes X)\,\text{vec}\,T &= (Y^\top \otimes I)\,\text{vec}\,T \\ (I \otimes X - Y^\top \otimes I)\,\text{vec}\,T &= 0 \end{align}

Utilizando cualquier vector (distinto de cero) que se encuentre en el espacio nulo de $I \otimes X - Y^\top \otimes I$ para $\text{vec}\,T$ satisfará la ecuación (sin embargo no estoy seguro de si cada $T$ sería invertible). Si la dimensión del espacio nulo es uno, sólo se puede hacer la multiplicación escalar. Si la dimensión es mayor que uno, también se pueden tomar combinaciones lineales de soluciones lineales independientes (esto es válido para $\text{vec}\,T$ y $T$ ya que el transformación de vectorización y su inversa también son lineales).