Los años bisiestos se determinan mediante un esquema en el que cada $4$ año es bisiesto, pero cada $4\cdot 25$ año está exento, pero cada $4\cdot 25 \cdot 4$ ño se restablece $\ldots $ y ahí nos detenemos, porque eso es suficiente en la práctica para aproximar la duración real de un año en términos de días. Pero, ¿y si quisiéramos aproximar arbitrariamente bien? En otras palabras, ¿puede cualquier número real $r$ , $0<r<1$ puede escribirse de la forma $$ r=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n }{\prod_{i=0}^{n} a_i } $$ con $a_i $ ¿una secuencia de números enteros positivos? Para la tierra a su velocidad de rotación actual, donde una fracción $r=0.242375$ de un día debe representarse, la secuencia existente $a_0 =4$ , $a_1 =25$ , $a_2 =4$ sólo tiene que completarse con $a_3 =20$ reproducir esto $r$ con toda la precisión conocida.
Respuestas
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El algoritmo codicioso siempre produce una expansión adecuada. La prueba es la siguiente.
Lema : Si $0<x<1$ entonces $x$ puede escribirse como $\frac 1n(1-y)$ para algunos $n$ con $0\le y<\frac 1{n+1}$ .
Pruebas: Sea $n$ sea tal que $\frac 1{n+1}<x\le \frac 1n$ . Entonces $0\le \frac 1n-x< \frac 1{n(n+1)}$ . En particular, escribir $y=n(\frac 1n-x)$ vemos $0\le y<\frac 1{n+1}$ según sea necesario.
Tenga en cuenta que en lo anterior, $n=\lfloor \frac 1x\rfloor$ para que $y=\lfloor\frac 1x\rfloor (1/\lfloor \frac 1x\rfloor-x)=1-x\lfloor \frac 1x\rfloor$ . Defina la función $f(x)=\lfloor \frac 1x\rfloor$ y $g(x)=1-xf(x)$ .
Ahora lo aplicamos inductivamente: dejemos que $x_0=r$ y $x_{n+1}=g(x_n)$ para cada $n$ y $a_n=f(x_n)$ . Afirmamos que para cada $n$ , $$ r=\sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j}{\prod_{i=0}^j a_i}+\frac{(-1)^{n+1}}{\prod_{i=0}^n a_i}x_{n+1}. $$ Desde $x_{n+1}=\frac 1{a_{n+1}}(1-x_{n+2})$ la fórmula se cumple inmediatamente por inducción, demostrando la afirmación.
(Descargo de responsabilidad: no soy un experto, sólo sé algunas palabras y cómo buscar en Google)
Esto me recuerda al llamado Ampliación de Engel de un número real $x$ que se define como la única secuencia no decreciente de números enteros positivos $a_1, a_2, a_3, \ldots$ tal que
$$ x = {1 \over a_1} + {1 \over a_1 a_2} + {1 \over a_1 a_2 a_3} + \cdots $$
Así que parece lógico llamar a esto la "expansión alternante de Engel", y buscando en Google se encuentra que también recibe el nombre de "expansión de Pierce", por ejemplo, como la utilizada por Fang 2015 o Shallit 1986 . El nombre se debe a Pierce 1929 .
Fang da un algoritmo para encontrar la expansión: para cualquier número real $x \in (0, 1]$ y $n \ge 1$ podemos tomar $x_1 = x$ y definir recursivamente
$$a_n = \lfloor {1 \over x_n} \rfloor, x_{n+1} = 1 - x_n a_n.$$
Sin embargo, esto tiene la restricción de que el $a_i$ sea creciente, y en la práctica esto no es necesario y puede obligar a que los coeficientes sean bastante grandes. Por ejemplo, para r = 0,242375 obtenemos la secuencia de $a_i$ como $4, 32, 41, 62, 124, 125$ (lo que lleva a un ciclo de calendario de 5043328000 años) mientras que usted ha observado $4, 25, 4, 20$ y un ciclo de calendario de 8000 años basta para obtener la misma precisión.
Shallit 1994 tiene la aplicación a los años bisiestos y llama "secuencia de intercalación" a la secuencia que has definido. Señala que siempre hay una secuencia de intercalación (la expansión de Pierce).
Todo esto me sugiere un problema - encontrar el óptimo secuencia de intercalación para un número racional, en el sentido de que el producto $a_1 a_2 \ldots a_n$ sea lo más pequeño posible. Esto no es necesariamente el resultado de la expansión codiciosa. Por ejemplo
$$ {13 \over 45} = {1 \over 3} - {1 \over 3 \times 7} + {1 \over 3 \times 7 \times 15} = {1 \over 3} - {1 \over 3 \times 5} + {1 \over 3 \times 5 \times 3} $$ donde la primera expansión es codiciosa y la segunda tiene productos más pequeños. Esto parece estar relacionado, al menos en espíritu, con problemas similares para fracciones egipcias.
obras citadas
Fang, Lulu , Principios de desviación grande y moderada para expansiones de Engel alternantes , J. Number Theory 156, 263-276 (2015). ZBL1317.60023 .
Pierce, T. A. , Sobre un algoritmo y su uso en la aproximación de raíces de ecuaciones algebraicas. , Amer. Math. Monthly 36, 523-525 (1929). ZBL55.0305.06 .
Shallit, J. O. Teoría métrica de las expansiones de Pierce, Fibonacci Q. 24, 22-40 (1986). ZBL0598.10057 ..
Shallit, Jeffrey , expansiones de Pierce y reglas para la determinación de los años bisiestos, Fibonacci Q. 32, nº 5, 416-423 (1994). ZBL0823.11043 .
