Álgebra polinómica

Question

Si $P(x) = (2x-5)^{2017}+(2x-5)^{2015}+(x-4)^{2017}+(x-4)^{2015}+3x-9 = 0$ encontrar las raíces reales. Encontré una raíz real $3$ haciendo la suma del polinomio igual a o y hallando el valor de $x$ pero no puede seguir adelante si cualquier otra salida de la raíz en real.

Answer 1

Es $$3(x-3)\left((2x-5)^{2016}-(2x-5)^{2015}(x-4)+...+(x-4)^{2016}+(2x-5)^{2014}-(2x-5)^{2013}(x-4)+...+(x-4)^{2014}+1\right)=0.$$ Ahora bien, dado que la ecuación $y^{2017}=1$ tiene una única raíz real y la ecuación $y^{2015}=1$ tiene una única raíz real, vemos que $$y^{2016}-y^{2015}+...+1>0$$ y $$y^{2014}-y^{2013}+...+1>0$$ y vemos que puede ser $x-3=0$ que dice que $3$ es una raíz única de nuestra ecuación.

Answer 2

Pista: calcula la derivada de $P$ .

Pista2: $P'$ es positivo en $\mathbb{R}$ .