Función continua que se aproxima a 0 más lentamente que cualquier $x^{\alpha}$

Question

¿Existe una función continua $f$ con $f(0) = 0$ tal que $$\sup_{\alpha \in \mathbb{R}} \left[ \lim_{x\to 0^{+}} x^{-\alpha} f(x) < \infty \right] = 0?$$

(Supongo que probablemente la haya. ¿Cuál es un ejemplo de una función de este tipo?)

Answer 1

Sea $f(x)=e^{-1/x^{2}}$ , $x\ne 0$ y $f(0)=0$ entonces $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{-\alpha}f(x)=0$ para cualquier $\alpha\in{\bf{R}}$ .