Determinar la función tal que $f\left(\sqrt{x_1^2+(f(x_1))^2}\right) = f\left(\sqrt{x_2^2+(f(x_2))^2}\right)$ para cada $x_1,x_2$ .

Question

Determinar una función numérica no constante $f$ tal que para todo $x_1$ , $x_2$ en su ámbito de definición, la igualdad $$f\left(\sqrt{x_1^2+(f(x_1))^2}\right) = f\left(\sqrt{x_2^2+(f(x_2))^2}\right)$$ se verifica. ¿Puede dar alguna propiedad especial de su solución $f$ ?

Answer 1

Sea $g(x) = \sqrt{x^2 + f^2(x)}$ . Tenemos que demostrar que $f(g(x_1)) = f(g(x_2))$ para todo válido $x_1,x_2$ . Una forma de abordarlo es $g$ constante, es decir:

$$\sqrt{x^2 + f^2(x)} = c$$ $$x^2 + f^2(x) = c^2$$ $$f(x) = \sqrt{c^2 - x^2}$$

Para algunos contantes $c$ . Eso satisfará su ecuación original para todos $x_1,x_2 \in [-c,c]$ .

Answer 2

El dominio de f es el conjunto de x tales que $\sqrt{x^2 + f^2(x)}\in\mathbb{R}$ ; además, como la igualdad dada es cierta para cada $x_1, x_2$ en el dominio de f, debemos tener $\sqrt{x^2 + f^2(x)}$ = constante para que f no sea constante. Por lo tanto $f(x) = \sqrt{c^2 - x^2}$ para una constante arbitraria c > 0, como Barry ha respondido anteriormente.

La propiedad especial de la función f es que es su propia inversa, $f\circ f(x) = x$ (es una involución como se puede demostrar fácilmente).