Dada la función
$$ f(x)= x+\cos(x)+\sin(\cos(x)) $$ (1)
¿es invertible? es decir existe otra función $ g(x) $ así que
$$ f(g(x))=x $$
mi suposición es que para los grandes $ x \gg 1 $ la función "x" es asintótica a $ g(x) \sim x $
ya que para "x" grande la función $ f(x) \sim x $ así que para x grande tenemos que nuestra función es siempre invertible
también $ f(x) $ es aproximadamente siempre creciente $ f'(x) \ge 0 $ que es una condición necesaria para que una función tenga inversa
La derivada es $$f'(x)=1-\sin(x)-\sin(x)\cos(\cos(x))=1-\sin(x)(1+\cos(\cos(x))).$$ En $x=\frac \pi2$ se vuelve negativa, mientras que la tendencia general de $f$ está aumentando. Por lo tanto $f$ no es invertible (no inyectiva, no siempre creciente) en la forma $g(f(x))=x$ . Sin embargo, es suryectiva y, por tanto, permite una inversa directa de la forma $f(g(x))=x$
Mira la trama de $f(x) = x + \cos(x) + \sin(\cos(x))$ para concluir que no es invertible.
También tenemos $$f'(x) = 1 - \sin(x) - \sin(x) \cos(\cos(x))$$ Tenemos $$f'(n \pi) = 1, f'(2n \pi + \pi/2) = -1, f'(2n \pi - \pi/2) = 3$$ Por lo tanto, no existe inversa, ya que la función no es monótona.
EDITAR $f(x) \sim g(x)$ y $g(x)$ que sea invertible no significa necesariamente que $f(x)$ también es invertible.
Para verlo, consideremos la función $$f(x) = x - \dfrac{\pi}2 \sin(x)$$ Claramente, $f(x) \sim x$ como $x \to \infty$ . Pero $f(x)$ no es invertible ya que $$f(2n\pi) = 2 n \pi$$ $$f(2n \pi + \pi/2) = 2n \pi + \pi/2 - \pi/2 = 2n \pi$$ $$f(2n \pi - \pi/2) = 2n \pi - \pi/2 + \pi/2 = 2n \pi$$ Por lo tanto, tenemos $$f(2n \pi - \pi/2) = f(2 n \pi) = f(2n \pi + \pi/2)$$
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