Demostrar por inducción que $n^3 > n^2 − 6n + 4$ para todos $n ∈ {\mathbb N}$ con $n ≥ 1$ .

Question

¿Podría comprobar si mi respuesta es correcta y confirmar que se trata de una prueba por inducción? Muchas gracias.

La prueba es por inducción.

Caso base: cuando $n=1$ :

$$\begin{eqnarray}1^{3}&>&1^{2}-6(1)+4\\ 1&>&-1\end{eqnarray} $$

Así pues, el caso base queda demostrado.

Paso inductivo: suponga $n^{3}>n^{2}-6n+4$ y $n\ge2 , n\in\mathbb{N}$ .

$$ \begin{eqnarray} n^{3}+(3n^{2}+3n+1) & > & n^{2}-6n+4+(3n^{2}+3n+1) \\ n^{3}+3n^{2}+3n+1 & > & 4n^{2}-3n+5 \\ n^{3}+3n^{2}+3n+1 & > & n^{2}+2n+1-6n-6+4+3n^{2}+n+6 \\ (n+1)^{3} & > & (n+1)^{2}-6(n+1)+4+3n^{2}+n+6 \\ & > & (n+1)^{2}-6(n+1)+4 \\ \end{eqnarray} $$ desde $n\ge2 , n\in\mathbb{N} $ .

Esto demuestra el paso inductivo, por lo que el resultado se sigue por inducción.

Answer 1

He aquí una forma más sencilla y conceptual, mediante telescopio. Primero haz la prueba inductiva obvia del lema de que $\rm\:f(n) > 0\:$ para $\rm\:n\ge 1\:$ si $\rm\:f(1)> 0\:$ y $\rm\:f\:$ está aumentando: $\rm\: f(n+1) \ge f(n)\:$ para $\rm\:n\ge1.\:$

Así que para $\rm\:f(n) = n^3\!-n^2+6n\!-4\:$ basta con demostrar $\rm\: f(n\!+\!1)-f(n) = 4n^2+2n+6 \ge 0\:$ para $\rm\:n\ge 1,\:$ que es fácil. No he comprobado los detalles de su prueba, pero puede ser reorganizado para tener la forma telescópica anterior, un ejercicio que es instructivo (y útil para la comprobación de pruebas).

Nota: la demostración puede verse como una reducción de la inducción a la inducción trivial de que una suma de términos positivos es positiva, ya que por telescopía podemos representar $\rm\:f\:$ como la suma de sus primeras diferencias $\rm\:f(n) = f(1) + \sum_{k=1}^{n-1}\: (f(k+1)-f(k)),\:$ donde $\rm\:f(k+1)-f(k) \ge 0.\:$ Siga el enlace para obtener más información.