Supongamos que $S$ es un conjunto multiplicativo en un anillo conmutativo con unidad $R$ y que $M$ es una $R$ -módulo. Demostrar que $S^{-1}M = 0$ sólo si $sM = 0$ para algunos $s \in S$ .
Sé que finitamente generado significa que hay $\{ m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{k} \} \subset M$ tal que $(m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{k}) = M$ es decir, cada $m \in M$ es de la forma $m = \sum_{i = 1}^{k} r_{i}m_{i}$ para $r_{i} \in R$ .
$(\implies)$ Supongamos que $S^{-1}M = 0$ . Entonces, cada $x \in S^{-1}M$ es cero, es decir $x = \frac{m}{s} = 0$ . Pero entonces $\frac{m}{s} = 0 = \frac{0}{1} \iff mu = 0$ para algunos $u \in S$ . Esto significa que $u \sum_{i = 1}^{k} r_{i}m_{i} = 0$ . Atascado aquí.
$(\impliedby)$ Supongamos ahora que $sM = 0$ para algunos $s \in S$ . Entonces, cada $x = sm$ es $0$ es decir $sm = 0$ . Por lo tanto, $s \cdot 1 \cdot m = s \cdot t \cdot 0 \iff 0 = \frac{m}{t} \in S^{-1}M$ . Así, $S^{-1}M = 0$ .
La cuestión es que en realidad nunca he utilizado la condición finitamente generada.
EDITAR: Para anillos de fracciones sé que $S^{-1}R = 0 \iff 0 \in S$ . ¿Es lo mismo para los módulos? Si es así, entonces el $(\implies)$ parte se puede hacer $S^{-1}M = 0 \implies 0 \in S \implies 0 \cdot m = 0$ para todos $m \in M \implies 0M = 0$ ?
