demuestre que un conjunto de vectores que contiene un conjunto de vectores linealmente dependientes es dependiente?

Question

Me pidieron que demostrara que un conjunto de vectores que contiene un conjunto de vectores linealmente dependientes es dependiente. Pero, ¿qué significa esto? ¿Y cómo puedo demostrarlo?

¿Qué significa que un conjunto sea linealmente dependiente?

Answer 1

Sea $\vec {v_1},\vec {v_2}$ sean dos vectores. $\vec {v_1},\vec {v_2}$ siendo linealmente dependiente significa que hay escalares $c_1,c_2 \neq 0$ para que $c_1 \vec {v_1}+c_2 \vec {v_2}=0$ . Si fueran linealmente independientes, entonces, $c_1 \vec {v_1}+c_2 \vec {v_2}=0 \rightarrow c_1,c_2 = 0$

Lo que la dependencia lineal significa básicamente es que se puede expresar un vector (o suma de vectores) como la combinación lineal de los demás vectores del conjunto. Por combinación lineal se entiende su suma escalándolos.

Que haya $v_1, v_2, \cdots, v_n$ un conjunto de vectores. Sabemos que $v_1, v_2, \cdots, v_k$ es linealmente dependiente. Eso significa que hay escalares $c_1,c_2,\cdots,c_k \neq 0$ para que $c_!v_1+c_2v_2+ \cdots +c_kv_k=0$

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si $c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n=0 \rightarrow c_1=c_2=\cdots=c_n=0$ para cada conjunto de escalares.

Pero sabemos que para $c_1, c_2 \cdots ,c_k, c_{k+1} \cdots, c_n$ como $c_1,c_2,\cdots,c_k \neq 0$ y $c_{k+1}=0, c_{k+1}=0, \cdots c_n=0$ tendremos $c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n=0$ sin $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$ (es decir, todas), por lo que el conjunto es linealmente dependiente.

Answer 2

Tomemos 3 vectores $v_1,v_2,v_3$

Si $v_3$ puede hacerse mediante una combinación lineal de otros dos vectores, entonces decimos que este conjunto de vectores es linealmente dependiente.

Por ejemplo

Tomemos un conjunto de vectores

${(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)}$

Se puede ver una combinación lineal de los dos primeros vectores puede hacer que el tercer vector

$$k_1(1,0,1)+k_2(1,1,0)=(2,1,1)$$

Dónde $k_1=1,k_2=1$

Esto significa que cualquier vector formado por (2,1,1) también puede estar formado por otros dos vectores. Por lo tanto, decimos que este conjunto es un conjunto linealmente dependiente. Aquí (2,1,1) es una redundancia.

Pero si lo quitamos entonces el conjunto se convierte en {(1,0,1)(1,1,0)}.Ahora bien, esto es linealmente independiente porque ningún múltiplo de (1,0,1) puede hacer cualquier múltiplo de (1,1,0).

Para comprobar si un conjunto contiene alguna redundancia, puede utilizar la forma escalonada de fila reducida. Si todos los elementos de una fila en rref se convierten en cero, significa que ese vector es redundante.