Si $R$ es un anillo conmutativo con identidad, y $a, b\in R$ son divisibles por cada uno de los otros, es cierto que deben ser asociados?

Question

Muchas gracias!

Mi problema es:

Si $R$ es un anillo conmutativo con identidad, y $a, b$ son sus elementos que son divisibles por cada uno de los otros, es cierto que deben ser asociados?

Aquí, $a$ ser divisible por $b$ significa que existe una $r \in R$, de tal manera que $a=rb$; y $a$ $b$ se asocia significa que existe un elemento invertible $u \in R$ tal que $a=ub$.

Me dijeron que esto no siempre es cierto. Pero me encontré con algunas dificultades en encontrar un contraejemplo.

Muchas gracias!

Answer 1

Consulte el siguiente artículo,

Cuando se Asocia Unidad Múltiplos?
D. D. Anderson, M. Axtell, S. J. Forman, y Joe Stickles
Rocky Mountain J. Math. Volumen 34, Número 3 (2004), 811-828.

Este es libremente disponible.

Se refiere sobre todo a la búsqueda de las condiciones suficientes en conmutativa anillos que asegurarse de que $Ra=Rb$ implican $a$ $b$ asociados, pero se dan algunos ejemplos de $R$ donde esta la falla. En particular este simple ejemplo de Kaplansky. Deje $R=C[0,3]$, el conjunto de continuo la función del intervalo de $[0,3]$ a los reales. Deje $f(t)$ $g(t)$ igual$1-t$$[0,1]$, cero en $[1,2]$ pero vamos a $f(t)=t-2$ en $[2,3]$$g(t)=2-t$$[2,3]$. A continuación, $f$ $g$ son no-asociados en $R$ pero cada divide los otros.

Answer 2

Esto es cierto si $R$ es un dominio. Más en general esto es cierto si $a$ o $b$ no es un divisor de cero en a $R$. Supongamos, $a$ no es un divisor de cero y no existe $r,s\in R$ tal que $a=rb$$b=sa$,$a=rsa$, lo $a(1-rs)=0$. Desde $a$ no es un divisor de cero, $1-rs=0$, lo $rs=1$. Por eso, $r,s$ son unidades. Por lo $a$ $b$ son asociados.

Answer 3

Las preguntas relacionadas con el surgir con frecuencia en el sci.matemáticas, donde yo a menudo señalan el siguiente estándar de referencia sobre el tema.

Ten en cuenta que esta equivalencia, es decir, $\rm\ aR = bR \iff a/b\ $ es una unidad en $\rm\:R\:$, generalmente no se al $\rm\:R\:$ cero, divisores, por lo que al menos hay un par de diferentes nociones de "socio" que son de interés.

Cuando se Asocia Unidad Múltiplos?
D. D. Anderson, M. Axtell, S. J. Forman, y Joe Stickles
Rocky Mountain J. Math. Volumen 34, Número 3 (2004), 811-828.
http://math.la.asu.edu/~rmmc/rmj/vol34-3/andepage1.pdf
http://projecteuclid.org/handle/euclid.rmjm/1181069828