Cómo demostrar $\vert\bullet\vert\circ\pi^{-1}$ es una norma

Question

Supongamos que la seminorma en X es de valor real, $U=X\bigcap\lbrace x:\vert x\vert =0\rbrace$ Y=X/U, y $\pi:X\rightarrow Y$ es la proyección canónica.

Quiero demostrar que $\vert\bullet\vert\circ\pi^{-1}$ es una norma en Y.

Pero no sé cómo probar que $\vert\bullet\vert\circ\pi^{-1}(y_1+y_2)\le \vert\bullet\vert\circ\pi^{-1}(y_1)+\vert\bullet\vert\circ\pi^{-1}(y_2)$ pero es una de las condiciones necesarias, ¿no?

Answer 1

Tienes una seminorma $|\cdot|$ en $X$ y definir $$ |\pi(x)|=|x| $$ en $Y=X/U$ donde $U=\{x\in X:|x|=0\}$ ( $U$ se sabe que es un subespacio de $X$ ). Cada elemento de $Y$ es de la forma $\pi(x)$ para algunos $x\in X$ .

En primer lugar, tiene que demostrar que $|\cdot|$ está bien definida en $Y$ . Si $\pi(x)=\pi(x')$ entonces $x-x'\in U$ Así que $$ |x|\le |x-x'|+|x'|=|x'| $$ y, del mismo modo, $|x'|\le|x|$ . Así $|x|=|x'|$ y la prueba está completa.

La prueba de las propiedades seminormales es esencialmente trivial; para la desigualdad triangular, $$ |\pi(x)+\pi(y)|=|\pi(x+y)|=|x+y|\le|x|+|y|=|\pi(x)|+|\pi(y)| $$ y lo mismo para las demás propiedades. Tenemos una norma porque $$ |\pi(x)|=0 \iff |x|=0 \iff x\in U \iff \pi(x)=\pi(0) $$ así que $|\pi(x)|=0$ implica $\pi(x)=\pi(0)$ .