He aquí las dos versiones de la conjetura de Arnold sobre las órbitas hamiltonianas:
Sea $(M,\omega)$ sea una variedad simpléctica cerrada, y sea $H: \mathbb{R/Z} \times M \to \mathbb{R}$ sea un Hamiltoniano no degenerado. Entonces el número de $1$ -órbitas periódicas del campo vectorial $X_H$ definido por $\omega(X_H, \cdot) = dH$ está limitada por debajo por
la suma de los números racionales de Betti de $M$ ( versión débil )
el número mínimo de puntos críticos de una función de Morse en $M$ ( versión fuerte ).
La versión débil se ha resuelto utilizando la homología de Floer. Mi pregunta es:
¿Ha avanzado alguien en la conjetura del Arnold fuerte?
He preguntado a un par de expertos en persona, pero no sabían nada (véase también la respuesta de Tim Perutz a esta pregunta ).
Además, me pregunto si alguien puede decirme cuál es la intuición correcta para la conjetura fuerte. La única idea que tengo de por qué la conjetura fuerte debería ser cierta es que cuando $H$ es independiente del tiempo, cada punto crítico de $H$ es un $1$ -órbita periódica de $X_H$ .
Editar sobre la versión de la conjetura sin asumir $H$ no degenerado: Gracias al comentario de Thomas más abajo, he buscado el enunciado original de la conjetura de Arnold y me he dado cuenta de que es diferente del que he escrito más arriba (que nunca he visto impreso). Llama a la conjetura anterior la conjetura de Arnold no degenerada; aquí está la conjetura original de Arnold "posiblemente degenerada" de Métodos matemáticos de la mecánica clásica :
Sea $(M, \omega)$ sea una variedad simpléctica cerrada, y sea $H: \mathbb{R}/\mathbb{Z} \times M \to \mathbb{R}$ sea un hamiltoniano. Entonces el número de $1$ -órbitas periódicas de $X_H$ está limitado por debajo por el número mínimo de puntos críticos de una función suave sobre $M$ .
También existe una versión débil (no del libro de Arnold) en la que la ligadura se sustituye por $1$ más la longitud de $M$ .
Se han hecho algunos progresos hacia la versión fuerte de esta conjetura. En "Sobre aplicaciones analíticas de la homotopía estable" Yuli Rudyak demuestra que si $(M,\omega)$ es una variedad simpléctica cerrada tal que $\omega|_{\pi_2(M)} = 0$ y $c_1|_{\pi_2(M)} = 0$ y la categoría de Lusternik-Schnirelmann de $M$ es $\dim M$ entonces se cumple la versión fuerte de la conjetura de Arnold "posiblemente degenerada". En "Sobre la categoría de Lusternik-Schnirelmann de las variedades simplécticas y la conjetura de Arnold" John Oprea y Rudyak eliminan la hipótesis LS demostrando que $\text{LS}(M) = \dim M$ siempre que $M$ es una variedad simpléctica cerrada tal que $\omega|_{\pi_2(M)} = 0$ .
