¿La norma aniquiladora tiene un minimizador?

Question

Sea $X$ sea Banach y $U$ un subespacio. Consideremos entonces el aniquilador hacia delante $$U^{\perp}= \left\{ f \in X': f(u)=0 \ \forall u \in U \right\}$$

donde $X'$ es el espacio dual. ¿Es cierto que para cualquier $f \in X'$ hay $g \in U^{\perp}$ tal que

$$\inf_{u \in U^{\perp}}\left\lVert u-f \right\rVert= \left\lVert u-g \right\rVert?$$

Sólo sé que tales minimizadores pueden encontrarse en espacios de Hilbert y en espacios compactos. Sin embargo, no estoy seguro de este espacio aniquilador.

Answer 1

Podemos demostrarlo con Hahn-Banach. Fijemos una $f\in X'$ que podemos suponer que no está en $U^\perp$ . Para cualquier $u\in U^\perp$ tenemos \begin{align*} \|f-u\|&=\sup_{\|x\|\leq 1}|f(x)-u(x)| \\ &\geq \sup_{\substack{\|x\|\leq 1 \\ x\in U}}|f(x)-u(x)|\\ & = \sup_{\substack{\|x\|\leq 1 \\ x\in U}}|f(x)|\\ &=\|f|_U\|_U. \end{align*} Esto implica que $d(f,U^{\perp})\geq \|f\|_U$ . Consideremos la restricción $f|_U$ de $f$ a $U$ . Defina $F$ sea la extensión de Hahn-Banach de $f|_U$ (así $F\in X^*$ de nuevo). Se nos garantiza que $\|F\|=\|f|_U\|_U$ . En $U$ tenemos que $g:=f-F=0$ . Por lo tanto $g\in U^\perp$ y $\|f-g\|=\|f|_U\|$ . Así pues, la distancia entre $f$ y $U^\perp$ se minimiza mediante $g$ .