Cómo integrar $\tan^{-1}\left(\frac{1}{2 \sin(x)}\right)$ ?

Question

Quiero calcular la siguiente integral :

$\displaystyle{\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \tan^{-1}\left(\frac{1}{2 \sin(x)}\right)} \text{ d}x$

Pero no sé cómo; lo intenté subsituyendo $u = \frac{1}{2 \sin(x)}$ y $u = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2 \sin(x)}\right)$ pero no me lleva a ninguna parte.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Bueno, la integral sobre $(0,2\pi)$ es claramente cero por simetría, por lo que el problema dado es equivalente a encontrar

$$ -\int_{0}^{\pi/2}\arctan\left(\frac{1}{2\sin x}\right)\,dx=-\int_{0}^{1}\frac{\arctan\frac{1}{2x}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\frac{\pi^2}{4}+\int_{0}^{1}\frac{\arctan(2x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx $$ o $$ -\frac{\pi^2}{4}+\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}\frac{x}{(1+a^2 x^2)\sqrt{1-x^2}}\,dx\,da=-\frac{\pi^2}{4}+\int_{0}^{2}\frac{\text{arcsinh}(a)}{a\sqrt{1+a^2}}\,da$$ o $$ -\frac{\pi^2}{4}+\int_{0}^{\log(2+\sqrt{5})}\frac{u}{\sinh u}\,du =-\frac{\pi^2}{4}+\int_{1}^{2+\sqrt{5}}\frac{2\log v}{v^2-1}\,dv$$ donde la última integral depende del dilogaritmo $\text{Li}_2$ evaluado en $\pm(\sqrt{5}-2)$ :

$$ \int_{0}^{\pi/2}\arctan\left(\frac{1}{2\sin x}\right)\,dx= \text{arcsinh}\left(\tfrac{1}{2}\right)\text{arcsinh}(2)-\text{Li}_2(\sqrt{5}-2)+\text{Li}_2(2-\sqrt{5})$$

Answer 2

Respuesta parcial: Considere $f(y) = \int_{\pi/2}^{2\pi} \arctan\frac1{y\sin x}\,dx$ . En última instancia, le interesa $f(2)$ . Parece que $f'(y)$ se puede integrar/evaluar (pasar la derivada por la integral, simplificar y hacer $u=\cos x$ ) con bastante facilidad. ¿Puede entonces integrar este resultado para obtener $f(y)$ ?