Demostrar la altura del cono inscrito en una esfera en función del radio de la esfera.

Question

Como referencia: Un cono y un cilindro, ambos rectos, tienen el mismo volumen e idénticas bases. Sabiendo que ambos son inscribibles en una esfera de radio R, ¿cuál es la altura H del cono (en función de R)?(A: $\frac{6R}{5}$ )

No he podido demostrar esta relación.

$r_{ci}=r_{co} = r\\ r_e=R\\ V_{ci}=V_{co}\implies \pi r^2.h_{ci}=\frac{1}{3}.\pi r^2.h_{ci}\\ \therefore h_{co}=3h_{ci}\\ V_e=\frac{4}{3}.\pi .R^3\\ R^2 = r^2+(h_{co}-R)^2\\ 4R^2=h_{ci}^2+4r^2\implies h_{ci}^2=4(R^2-r^2)\\ (\frac{h_{co}}{3})^2=4(R^2-r^2)\implies h_{co}^2=36(R^2-r^2)\\ h_{co} = 6\sqrt{R^2-r^2}$

No veo cómo continuar o incluso si la relación de la pregunta puede existir

Answer 1

A partir de su trabajo, restamos la segunda ecuación de la primera y luego utilizamos la tercera: $$\begin{cases} R^2 = r^2+(h_{co}-R)^2\\ R^2=\frac{h_{ci}^2}{4}+r^2\\ h_{co}=3h_{ci} \end{cases}\implies h_{co}-R=\frac{h_{ci}}{2}=\frac{h_{co}}{6} \implies h_{co}=\frac{6R}{5}.$$