Resolver soluciones reales positivas de ecuaciones cíclicas $x+y^2+2xy=9$ , $y+z^2+2yz=47$ , $z+x^2+2xz=16$

Question

Resolver sobre reales positivos $$x+y^2+2xy=9$$ $$y+z^2+2yz=47$$ $$z+x^2+2xz=16$$

Con una manipulación estándar obtenemos que $x+y+z=8$ . Así $x=8-y-z$ y tenemos dos ecuaciones, $$(8-y-z)^2+y^2+2(8-y-z)y=9$$ $$y+z^2+2yz=47$$ Que se convierte en $$-y^2-2yz+15y-z=1$$ $$y+z^2+2yz=47$$ Sumando se obtiene $$-y^2+16y+z^2-z=1$$ $$\implies z^2=z+1+y^2-16y$$ Y esto sustituye a $$y+z+1+y^2-16y+2yz=47$$ $$\implies y+\bigg(\frac{-y^2+15y-1}{2y+1}\bigg)+1+y^2-16y+2y\bigg(\frac{-y^2+15y-1}{2y+1}\bigg)=47$$ Sin embargo, esto da lugar a un desagradable cuártico que no sé cómo simplificar. Gracias.

Answer 1

Continúe sustituyendo $z=\frac{-y^2+15y-1}{2y+1}$ en $y+z^2+2yz=47$ ,

$$y+\left(\frac{-y^2+15y-1}{2y+1}\right)^2+2y\left(\frac{-y^2+15y-1}{2y+1}\right)=47$$

Simplifica,

$$-3y^4+32y^3+69y^2-219y-46=0$$

y factorizar

$$(y-2)(3y^3-26y^2-121y-23)=0$$

que da las soluciones reales positivas $x=1,\>y=2,\>z=5$ . Los otros tres conjuntos de soluciones también son reales, pero contienen valores negativos.

Answer 2

$\begin{cases} x+y^2+2xy=9\\ y+z^2+2yz=47\\ z+x^2+2xz=16 \end{cases} \implies \begin{cases} (2 x + 2 y)^2 - (2 x - 1)^2 = 35\\ (2 y + 2 z)^2 - (2 y - 1)^2 = 187\\ (2 z + 2 x)^2 - (2 z - 1)^2 = 63 \end{cases} \implies \begin{cases} x=1\\ y=2\\ z=5 \end{cases}$