Demostrar que un grupo fundamental es conmutativo si su espacio es un grupo

Question

Estoy trabajando en este problema de prueba en grupo fundamental:

Un grupo fundamental $\pi_1 (X, x_0)$ es conmutativo si su espacio $X$ es grupo.

Éstos son los que conozco:

(1) La prueba debería comenzar, en mi opinión, con las propiedades de $X$ como grupo, que son cierre, asociación, existencia de inverso y elemento neutro.
(2) La prueba debe terminar con $[f] * [g] = [g] * [f]$ donde $f, g \in \pi_1 (X, x_0)$ demostrando así que el grupo fundamental es abeliano.

Pero, por desgracia, no sé cómo conectar el (1) y (2) por encima, por lo que cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias por su tiempo y ayuda.

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¡Uy!
Lo siento por no publicar esta advertencia: Hice mi debida diligencia mediante la comprobación de publicaciones anteriores antes de publicar esto, y me encontré con este 2014 publicación similar aquí . Sin embargo, si se examina más detenidamente, se verá que:

(1) De las dos respuestas, la primera o bien utiliza una teoría muy avanzada que desconozco, o bien es una "bonita prueba abstracta sin sentido", como han señalado dos miembros. Por ello, dudo que sea útil.
(2) La segunda respuesta no conduce a nada, porque el enlace está roto. Compruébalo un fuera.
(3) Por último, parece que el OP plantea la pregunta a la luz de la conexión de caminos, que creo que es diferente de la mía, ya que estoy pidiendo una prueba completa.

Por todo ello, he decidido publicar mi pregunta. Perdón de nuevo por olvidarme de publicar esta advertencia con antelación. :-) Muchas gracias.

Answer 1

Asuma $x_0$ es el elemento de identidad... $f$ y $g$ sean dos bucles en $x_0$ entonces básicamente podemos escribir $f*g =(f*e_{x_0}).(e_{x_0} *g) \approx (e_{x_0}*f).(g*e_{x_0}) = g*f$

Answer 2

Aquí está el no elemental de Grothendieck respuesta (puesto que ya se ha dado una respuesta elemental) a su pregunta (esto no ocurre todos los días ;-)) : el functor $$\pi^1 :(\textrm{Top}') \to (\textrm{Gr})$$ de la categoría $(\textrm{Top}')$ de espacios topológicos conectados por trayectorias a la categoría $(\textrm{Gr})$ de grupos conmuta con productos y mapea por tanto objetos de grupo a objetos de grupo. Ahora bien, los objetos de grupo de $(\textrm{Top}')$ grupos topológicos conectados por trayectorias, se envían a objetos de grupo de $(\textrm{Gr})$ y estos últimos son grupos abelianos.

Para los interesados, nótese que esto es falso en el caso étale es decir, el grupo fundamental étale del esquema de grupo puede no ser abeliano. Sea $G_0$ sea un esquema de grupo liso definido sobre un campo finito $k$ de cardenal $q$ y que $G$ sea el cambio de base a un cierre algebraico de $k$ . Luego está el Lang mapa $L: G \to G$ definido por $x \mapsto (Fx) x^{-1}$ où $F$ es el Frobenius. Por un teorema de Lang $L$ es un mapa suryectivo. También es finito ya que la fibra sobre la identidad es finita (el $k$ -puntos racionales) y porque un morfismo de espacios homogéneos para un grupo algebraico con fibras finitas es finito. ( ) (Véase la prueba de ( ) en el comentario a esta respuesta). Pero el Frobenius induce el mapa cero en los espacios tangentes, de modo que el morfismo de Lang $x \mapsto (Fx) x^{-1}$ es suave ya que el morfismo sobre espacios tangentes es una biyección. Entonces, como las fibras son finitas, $L$ es una cubierta étale. Ahora $L$ es de hecho una cubierta de Galois cuyo grupo de automorfismo es $G_0(k)$ : las traducciones correctas por el $k$ -Los puntos racionales son automorfismos de la cubierta. Como éste es el número correcto de traslaciones para el grado de la cubierta, tenemos efectivamente una cubierta de Galois con el grupo de Galois apropiado. Pero, en general, este grupo de Galois no será abeliano. Así que el grupo fundamental étale, que se proyecta sobre cada grupo de Galois, tampoco puede ser abeliano.

Answer 3

Se ha respondido a esta pregunta en $G$ es Topológico $\implies$ $\pi_1(G,e)$ es abeliano . Mi respuesta sitúa la cuestión en un contexto más amplio, considerando el grupo fundamental de un grupo topológico, y el enlace a este artículo en grupos de cobertura de grupos topológicos no conectados.