$\def\ph{\varphi}\def\l{\left}\def\r{\right}\def\nR{\mathbb{R}}\def\hF{\hat{F}}\def\rmL{{\mathrm{L}}}\def\vr{\vec{r}}\def\vF{\vec{F}}\def\m#1{{\mathbf{#1}}}\def\det{\operatorname{det}}\def\vomega{{\vec{\omega}}}\def\vph{{\vec{\varphi}}}\def\vom{{\vec{\omega}}}\def\valpha{{\vec{\alpha}}}\def\vv{{\vec{v}}}\def\ddt{\frac{d}{dt}}$ Suponemos que la varilla puede considerarse como una sección rectilínea con el ángulo de rotación $\ph$ como su único grado de libertad. Utilizamos el pivote como origen. Con estas suposiciones, la barra puede describirse como $$ z(s,t) = s\exp(i\ph(t)). $$ en el plano complejo con $s\in[0,l]$ . A partir de aquí podemos calcular fácilmente la velocidad y la aceleración de los puntos de la barra: \begin{align} \dot z(s,t) &= i s \exp(i\ph(t))\dot\ph(t)\\ \ddot z(s,t) &= s \exp(i\ph(t))\bigl(-\dot\ph(t)^2 + i\ddot\ph(t)\bigr) \end{align}
Como usted dice, conocemos la fuerza aplicada al extremo exterior de la barra. Llamémosla $F_l(t)$ .
Como no quieres tratar con elasticidades, tienes restricciones y necesitas aplicar uno de los principios de la mecánica para sistemas restringidos. Esto es lo más parecido a los principios de Newton para un sistema con restricciones . Tiene la interpretación de que la ley de Newton debe ser válida en la dirección del grado de libertad. En todas las demás direcciones hay fuerzas restrictivas que mantienen el sistema dentro de las restricciones. Si no quieres aplicar uno de los principios de la mecánica tienes que considerar la viga 3d completa con fuerzas elásticas y quizás llevar el límite a una barra rígida. Encontrarás una buena descripción de este procedimiento en Libro de Arnolds para sistemas de masas puntuales. Aquí aplico el principio de d'Alembert. Afortunadamente, no necesitamos considerar la fuerza de pivote ya que allí el desplazamiento virtual $\delta z(s,\ph) = s\exp(i\ph(t))i\delta\ph$ es cero debido a $s=0$ allí. \begin{align*} 0&=\int_{s=0}^l \l\langle\delta z(s,\ph(t))\mid -\ddot z(s,\ph(t))\r\rangle\frac{m}{l}\,ds + \l\langle\delta z(l,\ph(t))\mid F_l(t)\r\rangle \end{align*} De este modo, $\langle\bullet\mid\bullet\rangle$ es el producto escalar normal de $\nR^2$ que puede calcularse como $\langle a\mid b\rangle=\Re(a^*\cdot b)=a_x b_x + a_y b_y$ . \begin{align} 0&= \Re\l(\int_0^l \l(s\exp(-i\ph(t))(-i)\delta\ph\cdot \l(-s\exp(i\ph(t))(-\dot\ph(t)^2+i\ddot\ph(t))\r)\r)\frac ml\,ds + \l( l\exp(-i\ph(t))(-i)\delta\ph\cdot F_l(t)\r)\r)\\ 0&= \delta\ph\cdot\l(-\ddot\ph(t)\frac {ml^2}3 + l\Re\l(-i\exp(-i\ph(t))F_l(t)\r)\r) \end{align} Esta ecuación debe ser válida para todos los desplazamientos virtuales $\delta\ph$ por ejemplo $\delta\ph=1$ lo que nos da la ecuación de movimiento $$ \ddot\ph(t)\frac {ml^2}3 = l\Re\l(-i\exp(-i\ph(t))F_l(t)\r) $$ Consideremos una fuerza $F_l(t)$ que siempre actúa ortogonal a la barra y tiene valor absoluto constante $\hF$ . Elegimos la orientación de la fuerza de forma que impulse la barra en dirección matemáticamente positiva. Se puede representar como $$ F_l(t) = i\hF\exp(i\ph(t)) $$ Con ello obtenemos $$ \ddot\ph(t)\frac {ml^2}3 = l\Re\l(\hF\r) = l\hF. $$ La barra se ha modelado como un segmento de línea para simplificar el cálculo. La restricción del movimiento a un plano es una simplificación adicional.
El modelo general de cuerpo rígido es un dominio $B\subset\nR^3$ incrustado a través de un movimiento de cuerpo rígido \begin{align} \vr(\vr^\rmL,t) &= \vr_0(t) + R(t)\cdot \vr^\rmL \end{align} con $\vr^\rmL\in B$ . De este modo, $\vr^\rmL$ son coordenadas de puntos en el sistema de referencia del cuerpo rígido y (por simplicidad) $R$ es un matriz de rotación (con $R R^T = \m1$ y $\det(R)=1$ ). Sea $\vF_k$ ser fuerzas externas impresas al cuerpo en puntos $\vr_k^\rmL$ $(k=1,\ldots,n)$ . Los puntos correspondientes en el espacio son $\vr_k = \vr_0 + R\vr_k^\rmL$ .
La variación de $\vr_0$ es $\delta\vr_0$ .
Observamos la variación de $R$ algo más de cerca. La derivada de $R R^T = \m1$ da $$\m0=\delta(\m1)=\delta(R\cdot R^T) = \delta R \cdot R^T + R \cdot \delta R^T.$$ Eso significa que la matriz $$ \delta\Phi:=\delta R \cdot R^T = -R \cdot \delta R^T = -(\delta R\cdot R^T)^T $$ es asimétrica y, por tanto, sólo tiene 3 componentes relevantes $\delta\ph_1:=\delta\Phi_{32},\delta\ph_2:=\delta\Phi_{13},\delta\ph_3:=\delta\Phi_{21}$ . Con el vector $\delta\vph:=(\delta\ph_1,\delta\ph_2,\delta\ph_3)$ de estos tres componentes relevantes el producto de $\delta\Phi$ con cualquier vector $\vec a$ puede representarse como producto cruzado $$ \delta\Phi\cdot \vec a = \delta\vph \times \vec a. $$ Ahora, estamos listos para calcular el desplazamiento virtual del movimiento del cuerpo rígido $$ \delta\vr(\vr^\rmL)=\delta\vr_0 + \delta R \vr^\rmL $$ Aumentar con el factor $\m{1}=R^TR$ da \begin{align} \delta\vr(\vr^\rmL)&=\delta\vr_0 + \delta R R^T R \vr^\rmL\\ &=\delta\vr_0 + \delta\vph\times R\vr^\rmL \end{align} De la misma manera podemos calcular la velocidad de los puntos del cuerpo \begin{align} \vv(\vr^\rmL,t):=\dot\vr(\vr^\rmL,t) &= \dot\vr_0 + \dot R \vr^\rmL\\ &= \vv_0 + \vom \times R\vr^\rmL \end{align} con $\vom\times \l(R\vr^\rmL\r) := \dot R R^T \l(R\vr^\rmL\r)$ . El principio de Alembert da \begin{align} 0 &= \ddt\int_{\vr^\rmL\in B} \delta\vr(\vr^\rmL)^T \cdot (-\rho \vv(\vr^\rmL,t)) \cdot d V + \sum_{k=1}^n \delta\vr_k \cdot \vF_k \end{align} Poniendo todos los bits da: \begin{multline} \ddt\int_{\vr^\rmL\in B} \l(\delta\vr_0 + \delta \vph\times R\vr^\rmL\r)^T \cdot \l(\vv_0 +\vom \times R\vr^\rmL\r) \cdot \rho d V \\ - \sum_{k=1}^n \l(\delta\vr_0 + \delta \vph\times R\vr^\rmL_k\r)^T \cdot \vF_k = 0 \end{multline} Teniendo en cuenta que en general $(\vec a\times \vec b) \cdot \vec c = \vec a\cdot \l(\vec b \times \vec c\r)$ se obtiene \begin{multline} \delta\vr_0^T\cdot\l(\ddt\int_{\vr\in B} \l(\vv_0 + \vom \times R\vr^\rmL\r) \cdot \rho d V -\sum_k \vF_k \r)\\ +\delta\vph^T \cdot\l(\ddt\int_{\vr\in B} \l(R\vr^\rmL\r)\times\l(\vv_0 - \l(R\vr^\rmL\r)\times \vom\r)\rho d V\\ -\sum_k\l(R\vr^\rmL_k\r)\times\vF_k \r) = 0 \end{multline} y con $J(t):=\int_{\vr\in B} -(R\vr^\rmL)\times(R\vr^\rmL)\rho d V$ y $m:=\int_{\vr\in B} \rho d V$ se obtiene $$ \delta\vr_0^T\cdot\l(\ddt \l(\vv_0 + \vom \times R\vr^\rmL\r)m -\sum_k \vF_k \r)\\ +\delta\vph^T \cdot\l( \ddt\l(m\l(R\vr^\rmL\r)\times\vv_0 + J(t)\times \vom\r) -\sum_k\l(R\vr^\rmL_k\r)\times\vF_k \r) = 0 $$ Dado que las variaciones de $\delta\vr$ y $\delta\vph$ son mutuamente independientes sus factores deben desaparecer por separado y se obtienen las conocidas ecuaciones de equilibrio \begin{align} \ddt \l(\vv_0 + \vom \times R\vr^\rmL\r)m &= \sum_k \vF_k \\ \ddt \l(m\l(R\vr^\rmL\r)\times\vv_0 + J(t)\times \vom\r) &= \sum_k\l(R\vr^\rmL_k\r)\times\vF_k \end{align}
