$f(x) = e^{3x}\ln x$ tiene dos extremos locales

Question

He encontrado la siguiente tarea:

Demuestra que $f(x) = e^{3x}\ln x$ tiene dos extremos locales en $]0,\infty[$ .

La función $f(x)$ es monotónicamente creciente para $x>1 $ y $f(x) \to -\infty$ para $x\to +0$ . Por lo tanto, si hay algún extremo local, entonces debe estar en el intervalo $]0,1[$ .

Así que tengo que buscar $f'(x)=0$ sur $]0,1[$ .

Ahora $f'(x) = e^{3x} ( 3\ln(x) + \frac{1}{x})$ . Por lo tanto, necesito encontrar dos puntos con

$$\ln(x) = -\frac{1}{3x}.$$

¿Cómo se resuelve esto?

Pensé que tal vez podría insertar números aleatorios de $]0,1[$ en la función podría tener la suerte de argumentar con continuidad que tales puntos existen. Pero no creo que se espera insertar sólo algunos números al azar para resolver esto?

Answer 1

Lo que has hecho es correcto. Ahora, considere la función $$ g(x)=\ln x+\frac{1}{3x}=\frac{3x\ln x+1}{3x} $$ y observe que $\lim_{x\to0^+}g(x)=\infty$ , $\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$ .

Además, $$ g'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3x^2}=\frac{3x-1}{3x^2} $$ que desaparece para $x=1/3$ donde $g$ tiene un mínimo absoluto. Dado que $$ g(1/3)=-\ln3+1<0 $$ vemos que hay exactamente dos puntos en los que $g$ (y así $f'$ ) desaparece. Estos dos puntos son efectivamente puntos extremos para $f$ (termínalo).

Answer 2

Como han dicho otros comentaristas, la ecuación $$\ln(x) = -\frac{1}{3x}$$ no puede resolverse algebraicamente, pero no necesitas resolverlo algebraicamente para esta pregunta. En concreto, todo lo que tienes que hacer es demostrar que existen dos soluciones, no necesariamente encontrarlas. Un método para hacerlo podría ser el teorema del valor intermedio, es decir, si $f'(a) < 0$ y $f'(b) > 0$ entonces sabes que hay algún punto $c$ sur $]a, b[$ con $f'(c) = 0$ .