Coeficientes de difusión no locales

Question

En las EDP uno se encuentra típicamente con problemas elípticos como:

$$\begin{cases} \mathrm{div}\left(A(x,u)\cdot \nabla \ u \right)=f, \ \Omega \\ \hspace{12mm} u=g, \ \hspace{20mm} \partial \Omega \end{cases} $$

Dónde $A$ es una matriz (elíptica) cuyos coeficientes pueden entenderse (mediante algunos argumentos probabilísticos) como parámetros que nos informan sobre cómo funciona la difusión no lineal en un posible medio no homogéneo no isótropo.

Me preguntaba si tiene algún sentido considerar una modificación de este problema en la que la matriz $A(x,u)$ depende de forma no local del $u.$ Por ejemplo, se podría considerar el caso en el que algunos de los coeficientes de $A$ son derivadas fraccionarias del $u,$ o simplemente algo como $\int_{\Omega}u.$

Así que, mis preguntas supongo que serían:

1) ¿tiene esto algún interés desde el punto de vista de la física y la modelización?

2) ¿Se ha estudiado esta cuestión? ¿Qué se sabe sobre este problema?

Nota: No soy un experto, ni un matemático profesional; sólo pregunto esto por curiosidad.

Answer 1

Una restricción típica que puedes tener es la integral. Por ejemplo, la integral de algo se conserva en un área o a lo largo de una superficie. Como el teorema de Greens. Esta es una restricción no local ya que requiere involucrar muchos puntos en la simulación a la vez. También puede utilizar ( cambiar a ) bases de Fourier y derivar restricciones en las funciones de base que son en muchos casos no locales.