Supongamos que $W_1, W_2, ..., W_n$ es una familia de subespacios de V. Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio de $V$ :

Question

Supongamos que $W_1, W_2, ..., W_n$ es una familia de subespacios de V. Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio de $V$ :

$\cap_{i=1}^n W_i = $ { $z | z \in W_i, 1 \leq i \leq n$ }

La pregunta vale 4 puntos. Estoy un poco confundido en cuanto a cómo exactamente esto debe ser "probado"

Mis pensamientos:

Desde $W_1, ..., W_n$ son todos subespacios, la suma vectorial y la multiplicación escalar son cerradas bajo cada uno de ellos.

Dado que cualquiera de estos subespacios es un espacio vectorial en sí mismo, la intersección de cualquiera de estos subespacios también debe ser un espacio vectorial porque la suma de vectores y la multiplicación escalar son cerradas bajo todos ellos individualmente y, por tanto, también juntas.

$W_1 \cap W_2 \cap ... \cap W_n \subseteq V$ ya que son una familia de subespacios/subconjuntos de $V$ .

El conjunto es un subespacio de $V$ porque es un espacio vectorial bajo la suma de vectores y la multiplicación escalar definidas en $V$

Answer 1

Su razonamiento es correcto, pero creo que debería proporcionar más detalles para esta tarea. Así que para demostrar, por ejemplo, que esta intersección es cerrada bajo adición, una prueba adecuada se vería así :

Toma $x,y\in \cap_{i=1}^n W_i$ para cada $i$ tenemos $x,y\in W_i$ . Desde $W_i$ es un espacio vectorial, $x+y\in W_i$ . Dado que esto es válido para cada $i$ tenemos que $x+y\in \cap_{i=1}^n W_i$ . Por lo tanto $\cap_{i=1}^n W_i$ se cierra por adición.

Answer 2

¡Esa es la idea!

Por ejemplo, demostrando que $\cap W_i$ es cerrado bajo multiplicación escalar sería como sigue:

Sea $\in \cap W_i$ , $c\in \mathbb{F}$ . Entonces $v\in W_i$ para todos $i$ . Puesto que cada $W_i$ es un subespacio, $cv\in W_i$ para cada $i$ . Por lo tanto, $cv\in \cap W_i$ y vemos que es cerrado bajo multiplicación escalar.

Las demás propiedades se derivan de un argumento similar.