Sólo una respuesta parcial... Como Qiaochu comentarios, la norma de "punto de vista" no va a cambiar sin un impulso considerable. El hecho de que algunas variantes de "Lebesgue" la integración no es "perfecto" no importa: es "lo suficientemente bueno".
Además, yo diría que, de hecho, "la integral" a la gente sobre todo el uso no es tanto formalmente definida por ninguna en particular, pero se caracteriza, tal vez de forma pasiva, en un ingenuo a la categoría de teoría estilo (o, aquellos que podrían ser mis palabras) por las propiedades que se espera. Que es, para muchos propósitos, realmente no se preocupan por la "definición" de "integral", porque sabemos lo que podemos esperar de "integrales", y sabemos que las personas que han demostrado que hay cosas que funcionan de esa manera bajo suave hipótesis...
Para todas sus virtudes (en mi opinión/sabor), este "caracterización" enfoque parece más difícil para los principiantes a entender, por lo que la "costumbre" enseñanza de las matemáticas, deja a la gente con las definiciones...
Mi preferido "integral", es lo que algunos llaman un "débil" integral, o Gelfand-Pettis integral (dar crédito donde el crédito es debido), que se caracteriza por $\lambda(\int_X f(x)\,dx)=\int_X \lambda(f(x))\,dx$ $V$valores $f$ para todo $\lambda$ en $V^*$, para el espacio vectorial topológico $V$, para medir el espacio de $X$. Esto puede parecer a mendigar a la pregunta, pero espera un momento: cuando $f$ es continua, compacta-compatibles, y $V$ es casi completa, localmente convexo, ampliamente documentados argumentos (por ejemplo, mi análisis funcional notas en mi sitio web) demostrar la existencia y unicidad, concedido exactamente existencia y unicidad de las integrales de continuo, compacto-compatible escalar defunciones con valores de $X$. Por lo tanto, cualquier tipo de integral en la que hemos cuidado a la hora de idear el último, le dará un Gelfand-Pettis integral.
Así, podemos utilizar Lebesgue de la construcción, o podemos citar Riesz' teorema, que cada continuo funcional en $C^o_c(X)$ (Edit: cuya topología es molesto para muchos: un colimit de espacios de Frechet. Pero, srsly, no es tan difícil) está dada por "integral" (algo como Bourbaki toma como definición).
De cualquier manera, sabemos lo que queremos, después de todo.
Un ejemplo de un contraste es la "Bochner/strong" integral, que tiene el atractivo que emula Riemann, de la construcción, y, por lo tanto, directamente se relaciona con la tradicional ... preocupaciones? Pero, después de que el polvo se asiente, todavía hay un poco de trabajo que hacer para demostrar que el (como-todavía-tácito) de la desiderata se obtienen.
Además, sorprendentemente, a menudo, en la práctica, el "débil" integral de la caracterización resulta ser todo lo que uno realmente quiere y necesita! ¿Quién sabía? :)
