¿Hay algo especial en la superficie de Riemann $y^2 = x(x^{10}+11x^5-1)$ ?

Question

Me tropecé con el hecho de que el Superficie de bolza puede obtenerse como el lugar geométrico de la ecuación,

$y^2 = x^5-x$

Su grupo de automorfismo tiene el orden más alto para el género $2$ a saber $48$ . Reconocí $x^5-x$ como invariante polinómico del octaedro. (De hecho, la superficie Bolza es conectado al octaedro).

Si utilizamos el invariante polinómico análogo del icosaedro, entonces lo hace la superficie de género 5,

$y^2 = x(x^{10}+11x^5-1)$

tienen propiedades especiales? ¿Cuánto se aproxima el orden de su grupo de automorfismo al límite $84(g-1)$ ? (Para $g = 5$ Esto sería $336$ .)

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POSTSCRIPT :

Doy las gracias a Noam Elkies por su detallada respuesta. El trasfondo de esta pregunta es una identidad que encontré relacionada con $x^{10}+11x^5-1$ . Define,

$a = \frac{r^5(r^{10}+11r^5-1)^5}{(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^5+1)^2}$

y,

$w = \frac{r^2(r^{10}+11r^5-1)^2(r^6+2r^5-5r^4-5r^2-2r+1)}{r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^5+1}$

entonces,

$w^5-10aw^3+45a^2w-a^2 = 0$

para arbitraria r . De hecho, ésta es la forma quíntica de Brioschi a la que puede reducirse la quíntica general. Dos de los polinomios son fácilmente reconocibles como invariantes icosaédricos, mientras que $r^6+2r^5-5r^4-5r^2-2r+1$ es un polinomio invariante para el octaedro.

Excepto en las fórmulas que utilizan Fracciones continuas de Ramanujan me preguntaba dónde más aparecen esos polinomios. Puesto que la superficie de Bolza implicaba un invariante del octaedro, era razonable plantearse si utilizar el correspondiente para el icosaedro también sería especial. Como Elkies demostró maravillosamente, resulta que lo es.

Answer 1

Sí, esta superficie de Riemann, llámala $C: y^2 = x^{11}-11x^6-x$ , es bastante especial: no sólo tiene el número máximo de automorfismos para una superficie hiperelíptica de género $5$ pero es una curva modular en al menos dos formas, ambas exhiben su grupo de automorfismo completo.

Una es una curva modular clásica (elíptica) de nivel $10$ intermedio entre $X(5)$ et $X(10)$ con $[C:X(5)] = 2$ (el mapa hiperelíptico) y $[X(10):C] = 3$ (una cubierta cíclica); esta curva modular parametriza curvas elípticas $E$ con nivel completo- $5$ estructura e impar ${\rm Gal}(E[2])$ , o, lo que es lo mismo, el nivel $5$ estructura y cuadrado $j(E)-12^3$ . Explícitamente, $E$ tiene la ecuación de Weierstrass $Y^2 = X^3 - A(x)X/48 + B(x)/864$ donde $A(x) = x^{20} + 228x^{15} + 494x^{10} - 228x^5 + 1$ y $$ x^{30} - 522x^{25} - 10005x^{20} - 10005x^{10} + 522x^5 + 1 $$ son polinomios con raíces en $20$ - y $30$ -órbitas puntuales de $A_5$ . Tenemos $A^3 - B^2 = 12^3 (x^{11}-11x^6-x)^5$ , así que $j - 12^3 = B^2/(x^{11}-11x^6-x)^5$ . El correspondiente subgrupo de congruencia subgrupo $\Gamma$ de ${\rm SL}_2({\bf Z})$ es el índice- $2$ subgrupo de $\Gamma(5)$ consistente en matrices que reducen mod $2$ al índice- $2$ subgrupo de ${\rm SL}_2({\bf Z}/2{\bf Z})$ con $[\Gamma : \Gamma(10)] = 3$ . Este $\Gamma$ es normal en ${\rm SL}_2({\bf Z})$ y el grupo cociente es ${\rm Aut}(C)$ .

Otro enfoque modular para $C$ es a través del $(2,3,10)$ grupo triangular, llámalo $G^*$ que aparece en la clase VIII de las diecinueve conmensurabilidades tabuladas en

Takeuchi, K.: Commensurability classes of arithmetic triangle groups, J. Fac. Univ. Tokio 24 (1977), 201-212.

Según la tabla de Takeuchi, $G^*$ es el normalizador de la norma unitaria grupo $G_1$ de orden máximo en un álgebra de cuaterniones sobre ${\bf Q}(\sqrt 5)$ ramificado sobre un lugar real y el primo $(\sqrt 5)$ .
Además $G_1$ es el $(3,3,5)$ grupo triangular, contenido en $G^*$ con índice $2$ . Sea $G_5$ sea el subgrupo normal de $G_1$ compuesto por unidades congruentes con $1 \bmod (\sqrt 5)$ . Entonces $G^*/G_5 \cong \lbrace \pm 1 \rbrace \times A_5$ y el cociente del semiplano superior $\cal H$ por $G_5$ tiene género $5$ , así debe ser nuestro $C$ . Además, ${\cal H} / G_5$ no tiene puntos elípticos, así que esto identifica la imagen del grupo fundamental $\pi_1(C)$ en ${\rm Aut}{\cal H} = {\rm SL}_2({\bf R})$ con un grupo de congruencia aritmética.

P.S. Roy Smith ya observó que si permitimos también superficies de Riemann no hiperelípticas Riemann, entonces el número máximo de automorfismos para el género $5$ no es $120$ pero $192$ . Un modelo explícito para una superficie de Riemann $S$ con $192$ automorfismos es la intersección de tres cuádricas $$ y^2 = x_0 x_1, \phantom{and} {y'}^2 = x_0^2 - x_1^2, \phantom{and} {y''}^2 = x_0^2 + x_1^2 $$ en ${\bf P}^4$ . Entonces $(x_0:x_1:y:y':y'') \mapsto (x_0:x_1)$ da una cobertura normal $S \rightarrow {\bf P}^1$ con grupo de Galois $N = ({\bf Z}/2{\bf Z})^3$ actuando mediante cambios arbitrarios de signo en $y,y',y''$ ramificado sobre los vértices de un octaedro regular, con cada uno de $x_0 x_1, x_0^2 - x_1^2, x_0^2 + x_1^2$ desapareciendo en un par de vértices opuestos. Afirmo que existe una secuencia exacta $1 \rightarrow N \rightarrow {\rm Aut}(S) \rightarrow S_4 \rightarrow 1$ , por lo que en particular $\#({\rm Aut}(S)) = 2^3 4! = 192$ . En efecto $G$ sea el subgrupo de ${\rm Aut}(S)$ que estabiliza el tramo de $\lbrace x_0, x_1 \rbrace$ . Entonces $G$ contiene $N$ como el núcleo de un homomorfismo $G \rightarrow {\rm Aut}({\bf P}^1)$ dada por la acción sobre $(x_0:x_1)$ . La imagen está contenida en el grupo $S_4$ de rotaciones del octaedro, y de hecho es igual a $S_4$ porque cualquier rotación permuta los tres pares opuestos de vértices y por tanto eleva a ${\rm Aut}(S)$ . Por lo tanto ${\rm Aut}(S)$ contiene un grupo $G$ de orden $2^3 4! = 192$ y por el límite de Hurwitz éste debe ser el grupo completo de automorfismos, QED

Answer 2

Su curva es hiperelíptica.

Si $X_g$ es una curva hiperelíptica de género $g$ entonces $\textrm{Aut}(X_g)$ es una extensión central de grado $2$ de uno de los grupos $$\mathbb{Z}_n, D_n, A_4, S_4, A_5,$$

véase este documento .

En el caso de la curva de Bolza el polinomio $x^5-x$ es invariante por el grupo de automorfismo del octaedro, que es $S_4$ . De hecho, el grupo de automorfismo de la curva de Bolza es una extensión central de $S_4$ por el grupo de orden $2$ generado por la involución hiperelíptica, por lo que tiene orden $2 \cdot |S_4|=48$ .

Respecto a tu curva, el polinomio de la derecha es invariante por el grupo de automorfismo del icosaedro, que es $A_5$ . Entonces el grupo de automorfismo es una extensión central de $A_5$ por la involución hiperelíptica, por lo que tiene orden $2 \cdot |A_5|= 120$ .