Teorema de Incompletitud de Gödel y Análisis Numérico

Question

No soy un experto en Lógica Matemática así que no puedo expresar mi pregunta formalmente pero espero que tenga sentido.

Por lo que yo sé, la implicación del teorema de incompletitud de Gödel para las matemáticas es que no podemos demostrar todos los aspectos de las matemáticas. Para seguir avanzando y demostrar más teoremas necesitamos más axiomas. Así que este procedimiento seguirá sucediendo infinitamente y, por tanto, se demuestra que las Matemáticas son un tema inagotable.

Lo que sigo pensando es si el teorema de incompletitud de Gödel es aplicable a un campo como el Análisis Numérico.

Mi opinión es que el Análisis Numérico se centra en encontrar soluciones numéricas eficientes a los problemas y no tanto en axiomas, demostrar teoremas y construir teorías. Por supuesto que existen, pero no es la principal preocupación construir y demostrar teorías elaboradas que tienen poca o ninguna utilidad práctica. En la geometría euclidiana, por ejemplo, todo se basa en axiomas, de modo que se pueden añadir axiomas y demostrar teoremas sobre ángulos y triángulos, etc. para siempre, sin importar si las implicaciones de esos teoremas son importantes o no. ¿Puede decirse lo mismo del análisis numérico?

Si hay algo mal ilumíname porque, como ya he comentado, no estoy muy familiarizado con la Lógica Matemática.

Answer 1

Como cualquier campo de las matemáticas, el Análisis Numérico tiene ciertamente teoremas, y los resultados de Gödel se aplican a ellos.

Si insiste en limitar su atención a las aplicaciones que implican cálculos en una máquina específica con una cantidad finita de memoria, entonces no hay lugar para la incompletitud: sólo hay finitamente muchos programas que caben en la memoria, y el espacio de estados del ordenador es finito; cualquier programa puede simularse hasta que termine o entre en un bucle infinito.

Pero ese es un enfoque muy limitado. Los analistas numéricos suelen trabajar en un modelo que trata la memoria disponible como infinita. Entonces la irresolubilidad del Problema de Halting, que está muy estrechamente relacionado con los resultados de incompletitud de Gödel, es muy relevante.

He aquí un ejemplo concreto (teorema de Richardson). Supongamos que tenemos una expresión $A(x)$ que implican números racionales, el número $\pi$ el número $\log 2$ la variable $x$ las operaciones de suma, resta, multiplicación, composición y las funciones $\sin$ et $\exp$ . Te gustaría determinar si existe algún número real $x$ tal que $A(x) < 0$ . El teorema de Richardson dice que no hay algoritmo que pueda hacer esto.

Answer 2

Las matemáticas avanzan: cuanto más comprendemos, más preguntas se plantean. Algunas de ellas tienen aplicaciones prácticas, otras son puramente teóricas (al menos por ahora). Pero sólo una pequeña parte de lo nuevo está relacionado con la lógica formal. No necesitamos más axiomas para demostrar más teoremas, sino comprender mejor las implicaciones de lo que tenemos.

No conozco ninguna parte del análisis numérico que se vea afectada por nuevos (o incluso antiguos) resultados en lógica.

Answer 3

Recuerdo que la "incompletitud" se aplica a sistemas suficientemente complejos para los que hay resultados que no pueden ser determinados por el sistema. Siguiendo esa línea de pensamiento, parecería que ampliar la complejidad de un sistema aumentaría su carácter incompleto. No veo por qué el análisis numérico estaría exento.