Masa del centro de la superficie homogénea

Question

Me dijeron que encontrara el centro de masa de una superficie $z= \sqrt{x^2+y^2}$ que se encuentra dentro del cilindro $x^2+y^2=ax$ .

Necesito algunas pistas sobre cómo hallar la masa total de dicha superficie. ¿Es necesario parametrizar la curva?

Gracias.

Answer 1

Es necesario parametrizar la superficie $S$ no la curva. Puede proceder de la siguiente manera:

Dado que la superficie forma parte del cono $z=\sqrt{x^2+y^2}$ también podría utilizar

$$ x=x, \quad y=y, \quad z=\sqrt{x^2+y^2}, $$

con $x,y \in D:=\{(x,y)\; |\; x^2 +y^2 \le ax \}$ .

A continuación, calcula, $\|r_x \times r_y \|=\sqrt{2}$ . Ya tienes todo lo que necesitas.

La masa se define como la integral de la densidad superficial $\rho(x,y,z)$ en $S$ :

$$ m =\iint_S \rho(x,y,z) dS =\iint_D \rho(x,y) \|r_x \times r_y \| dA. $$

Si tiene una expresión más precisa de $\rho(x,y,z)$ puedes terminar de evaluar la integral.