Potenciales de interacción fermiónicos

Question

¿Existen ejemplos de partículas fermiónicas o cuasipartículas para las que el potencial de interacción sea una función globalmente suave? es decir, sin singularidades ni puntos de bifurcación.

Como ejemplo, en Mecánica Cuántica Práctica de Flügge, el problema 148 tiene dos partículas repulsivas en un círculo. Se supone que es el modelo de los dos electrones de helio en estado fundamental. La ecuación que da es

$$ -\frac{\hbar^2}{2mr^2}\left(\frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2}\right)+V_0\cos(x_1-x_2)\psi=E\psi$$

No entiendo muy bien por qué este potencial no tiene una singularidad cuando $x_2\rightarrow x_1$ . ¿Existen otros ejemplos similares?

Answer 1

Bueno, no hay ninguna razón en particular para que un problema de libro de texto modele realmente un sistema físico... Pero ciertamente se puede escribir algo así como una aproximación completamente válida. Tomemos el ejemplo de Flugge, con He3 por lo que es fermiónico[fn.2]. Digamos que el tamaño de los átomos es muy pequeño, mucho más pequeño que las escalas en las que varía la función de onda del estado fundamental, lo cual es bastante razonable.

Ahora sí que debería existir un término $V_{repulse}(x_1-x_2)\psi$ donde $V_{repulse}$ se hace realmente grande cuando $|x_1-x_2|\rightarrow 0$ para capturar el hecho de que no puedes poner los dos átomos uno encima del otro [fn.2]. Pero esto va a ser muy corto alcance, casi cero si $|x_1-x_2|$ es significativamente mayor que el tamaño del átomo. Por otra parte, sabemos que $\psi(x_1,x_2)\rightarrow 0$ cuando $x_1 \rightarrow x_2$ . Así que precisamente en la región donde $V_{repulse}$ importaría, $\psi$ es básicamente cero. Así que básicamente podemos ignorar $V_{repulse}\psi$ . Más exactamente, el término es proporcional a (tamaño del átomo)/(tamaño del círculo) al cuadrado, que podría ser muy pequeño.

Así que no siempre hay que incluir un término repulsivo. De hecho, puede ser bastante insignificante, aunque parezca un hecho que no puedes ignorar.

[fn. 1] También hay veces que se pueden ignorar las interacciones repulsivas de los bosones, aunque no se suprimen como las de los fermiones.

[nota 2] No es realmente cierto que deba divergir como $x_1\rightarrow x_2$ . Si realmente se pusieran los dos átomos uno encima del otro dejarían de comportarse como átomos puntiformes, por lo que tu modelo dejaría de ser aplicable, en lugar de que cualquier cosa llegara hasta el infinito.

Answer 2

Al parecer, el Potencial efectivo gaussiano se utiliza bastante. Sería algo como $$V(x_1,x_2)=V_0 \exp(-\alpha(x_1-x_2)))$$ . Gracias por las respuestas.

Answer 3

En física atómica, los potenciales de Coulomb efectivos 1D de núcleo blando se utilizan habitualmente para la interacción entre partículas, especialmente cuando hay campos externos presentes. Por ejemplo, para la interacción entre un electrón y un protón (fijado en el espacio) en el centro de coordenadas: $$V(x) = - \frac{1}{\sqrt{x^2 + \epsilon^2}}$$ donde se utilizan unidades atómicas y $\epsilon$ suele encajar o tomarse como una sola. Es mucho más sencillo integrar la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para este potencial.