El truco de Rabinowitz

Question

La reciente pregunta sobre los problemas que se resuelven mediante generalizaciones me hizo pensar en el truco de Rabinowitz, que se utiliza para demostrar un enunciado del Nullstellensatz de Hilbert, en concreto, la inclusión del ideal generado por una variedad afín $V(J)$ sobre un campo algebraicamente cerrado en el radical de $J.$

Sea $0\neq f\in J,$ como arriba. En el curso de la prueba, uno extiende el anillo polinómico dado por una sola indeterminada y escribe sus elementos como, $$\sum_{i=1}^l h_ig_i + h(X_n\cdot f - 1),$$ donde $h_i,h\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]$ et $g_i\in k[X_1,\dots,X_n].$ Se aplica entonces la Nullstellensatz débil, para ver que, efectivamente, cada elemento de $k[X_1,\dots,X_{n+1}]$ puede escribirse de la forma anterior. Entonces, volviendo al anillo polinómico más pequeño, a través de $X_{n+1} \mapsto \frac{1}{f}$ da el resultado, simplemente despejando denominadores.

Mi pregunta es la siguiente: Aunque el truco utiliza un álgebra muy inteligente, ¿tiene algún tipo de significado geométrico más profundo? ¿Por qué tiene sentido intentarlo?

Answer 1

Quizá el "truco de Rabinowitz" quede más claro si se escribe la prueba al revés de la siguiente manera:

Sea $I \subseteq k[x_1,\dotsc,x_n]$ sea un ideal y $f \in I(V(I))$ queremos demostrar $f \in \mathrm{rad}(I)$ . En otras palabras, queremos demostrar que $f$ es nilpotente en $k[x_1,\dotsc,x_n]/I$ o, en otras palabras, que la localización $(k[x_1,\dotsc,x_n]/I)_f$ desaparece. Por tonterías generales esta álgebra es isomorfa a $k[x_1,\dotsc,x_n,y]/(I,fy-1)$ . Pero, claramente $V(I,fy-1)=\emptyset$ y por lo tanto el Weak Nullstellensatz implica que $(I,fy-1)=(1)$ es decir, que el cociente desaparece.