Demuestra por qué funciona el "método de eliminación" para resolver ecuaciones simultáneas.

Question

[Esto ha sido borrado debido a que me estresé por algo obvio que no vi; disculpas si parecí agresivo, simplemente estaba estresado. Gracias.

Answer 1

El fundamento del método de eliminación es bastante obvio: como no se puede resolver directamente una ecuación en dos incógnitas, se transforma el sistema de manera que se obtenga una ecuación en una sola incógnita, que se resuelve fácilmente.

Pronto aprenderá que este proceso se generaliza a un sistema de $n$ ecuaciones en $n$ incógnitas, donde transformas un sistema cuadrado en uno triangular. El planteamiento es muy inteligente y eficaz.

El método funciona porque se permite sustituir una ecuación por una combinación lineal de sí misma y de otras ecuaciones (al combinar expresiones iguales, la igualdad $LHS=RHS$ no se pierde).

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Cualquier sistema de ecuaciones (lineal o no) puede escribirse como igualdades a cero de algunas funciones de las incógnitas. $$f(x,y)=ax+by-n=0,\\g(x,y)=cx+dy-m=0.$$

Se le "permite" transformar el sistema en otro, siempre que no introduzca nuevas soluciones ni descarte las válidas.

Por ejemplo, omitiendo los argumentos $(x,y)$ la ecuación única $$f^2+g^2=0$$ tiene el mismo conjunto de soluciones, $f=0,g=0$ .

En particular, se pueden formar combinaciones lineales, tales como

$$\alpha f+\beta g=0,\\\gamma f+\delta g=0,$$ siempre que el sistema correspondiente no sea indeterminado, es decir, si $\alpha\delta-\beta\gamma\ne0$ .

Un caso especial es el que se utiliza en la eliminación, donde se añade una ecuación a otra y se mantiene la otra sin cambios,

$$f=0,\\\gamma f+g=0.$$ Obviamente, cumple el criterio.

Este nuevo sistema equivale a

$$ax+by=n,\\(\gamma a +c)x+(\gamma b+d)y=\gamma n+m,$$

y eres libre de elegir $\gamma$ de modo que el término en $y$ desaparece.

Answer 2

He estado buscando en Internet una explicación para mis alumnos de álgebra de por qué se puede resolver un sistema por eliminación. No está muy claro por qué se pueden "combinar" ecuaciones, dando lugar a una nueva ecuación (que si se representa gráficamente, crea una nueva línea, pero pasa por el mismo punto de solución).

Mis alumnos se sienten cómodos con la idea de la sustitución (claro, si algo es equivalente, entonces puedo sustituirlo en otro lugar de la ecuación por aquello a lo que es equivalente). La intuición se pierde cuando llegamos a la resolución por eliminación. Bueno, ¡por fin he encontrado una respuesta accesible para estos alumnos de 7º y 8º! Estos son mis apuntes:

Pregunta: ¿Por qué funciona el método de eliminación?

Mis dos ecuaciones son:

1. $x-2y=1$
2. $3x+2y=11$

Sabemos que podemos añadir algo a ambos lados de una ecuación y mantener la igualdad. Por ejemplo puedo tomar

$3x+2y=11$

y sumar 1 a ambos lados para obtener

$3x+2y+1=12$

Y a partir de la primera ecuación, sabemos que $x-2y=1$ que podemos sustituir de nuevo.

$3x+2y+1=12$ se convierte en $3x+2y+x-2y=12$

Combine términos similares para obtener $4x=12$ . Resolver para $x$ y, a continuación, resuelva $y$ .

Entonces supongo que mostraría a mis alumnos cómo hacerlo en columnas ahorra mucho tiempo, y también hace más obvio lo de multiplicar las ecuaciones por alguna constante para asegurarse de que al final eliminarán una variable.

Answer 3

Vamos a tener:

$$5x + 2y = 3$$ $$7x -3y = 1$$

Puedes sumar algo a ambos lados de una ecuación (Consulta este enlace para verlo: ¿Por qué podemos añadir un elemento a ambos lados de esta manera? )

Ahora añadimos algo a la primera ecuación:

$$5x + 2y + (7x -3y) = 3 + (7x -3y)$$

Pero este algo es igual a 1, entonces:

$$5x + 2y + (7x -3y) = 3 + (1)$$

Y reorganizando:

$$5x + 7x + 2y -3y = 3 + (1)$$

Por fin:

$$12x - y = 4$$

Esta nueva ecuación se denomina combinación lineal de ambas ecuaciones originales. Como hemos añadido algo a ambos lados en la primera ecuación del sistema, la nueva ecuación es como la primera pero transformada y tiene las mismas soluciones, del mismo modo que:

$$x + y = 3$$ y $$2x + 2y = 6$$

(En este último caso multiplicamos un algo por otro algo)

Por cierto, creo que esto no es tan obvio. Empecé a pensar en ello estudiando la primera carilla del libro de Hoffman-Kunze.

Answer 4

Tenemos:

$$x=\dfrac{n-by}{a}$$ $$x=\dfrac{m-dy}{c}$$

por lo que eliminamos $x$ escribiendo:

$$\dfrac{n-by}{a}=\dfrac{m-dy}{c}$$ $$cn-bcy=am-ady$$ $$y(ad-bc)=am-cn$$ $$y=\dfrac{am-cn}{ad-bc}$$

Answer 5

Creo que aquí no se está diciendo algo que es realmente importante. (Esto es realmente un comentario largo, y sólo una especie de respuesta).

Dices cosas como "la norma parece arbitraria" y "se ha introducido sin motivo". Esta es una forma bastante extraña de ver las matemáticas, como si para cualquier situación dada que se te ponga delante existieran unas reglas sobre cómo resolverla y simplemente las siguieras. Si fuera así, los ordenadores harían todas las matemáticas y no habría matemáticos.

Pero las matemáticas no son así en absoluto. En su lugar, tenemos unos puntos de partida que llamamos axiomas. Son arbitrarios, pero en cierto sentido están diseñados para ajustarse a nuestras expectativas. Conmutatividad, asociatividad, distributividad, todos ellos son elementos básicos que entendemos intuitivamente como verdaderos.

A partir de aquí, nos dedicamos a demostrar teoremas y a resolver problemas. Me refiero a utilizar los axiomas y definiciones básicos para demostrar propiedades de ciertas cosas, como ecuaciones, objetos geométricos o sistemas algebraicos. Este método produce algo nuevo que no sabíamos antes, y en el caso de tu pregunta en particular, es como se resuelve. En álgebra de números reales, tenemos una regla para anular y otra para sumar/restar/multiplicar/dividir por igual a ambos lados de una ecuación. Estos son los axiomas del álgebra con números reales. Resulta que con sólo utilizar estas propiedades básicas, podemos determinar cuál es la solución del problema. En resumen, no se trata de una regla que se inventa arbitrariamente, sino que es el resultado de pensar en las dificultades y utilizar las propiedades para llegar a una solución.

Para hacerse una idea intuitiva de lo que significa todo esto, piénselo así. Tienes dos ecuaciones en dos variables, cada una tiene infinitas soluciones posibles ya que son como rectas, pero quieres encontrar sólo las soluciones que satisfagan a ambas. Es decir, quieres restringir tu búsqueda para que sólo busque soluciones de un tipo que también satisfagan al otro. Para ello, debes insertar de alguna manera como restricción el requisito de que la otra ecuación se cumpla. Es decir, debes combinar las dos relaciones entre $y$ et $x$ para que pueda encontrar una solución a ambos.

Lo que hay que hacer es resolver una ecuación para una de las variables. Esto es sólo reescribir la misma relación en términos diferentes. Pero una vez que una de las ecuaciones se resuelve en términos de una variable, la sustitución de esa ecuación en la primera es la restricción que necesitamos. Estamos diciendo "esta ecuación satisface la relación que expresa, pero también tiene esta otra relación que acabamos de insertar en ella". Ahora puedes hacer álgebra en una variable para resolver, y luego usar esta información para encontrar la otra variable.

Así que en realidad no estamos aplicando ninguna regla arbitraria, estamos pensando en el problema y aplicando los conceptos básicos que conocemos para llegar a una solución.