Nueva construcción de proporción áurea muy sencilla que incorpora un triángulo, un cuadrado y un pentágono, todos con lados de igual longitud. ¿Existe un estado de la técnica?

Question

Consideremos tres polígonos regulares de 3, 4 y 5 lados en los que todos los polígonos tienen lados de igual longitud X en toda su extensión, como se ilustra a continuación. El cociente del segmento de la línea roja a al segmento de línea azul t es la proporción áurea PHI o 1.6181....

La construcción se realiza de la siguiente manera.

1. Comienza con un triángulo, un cuadrado y un pentágono donde todos los lados son X.

2. Dispón los polígonos de forma que el cuadrado se apoye en el triángulo y el pentágono se apoye en el cuadrado tal y como se ha dibujado.

3. Dibuja un segmento de línea desde el punto superior H hasta el punto inferior lejano A.

4. El lado del cuadrado cortará entonces el segmento de línea en la sección áurea en el punto I, de modo que la relación entre el segmento rojo a y el segmento azul t es la razón áurea PHI.

Como siempre, las pruebas geométricas y algebraicas son bienvenidas. Y también, si alguien ha visto algún arte previo relacionado con esta construcción particular de la proporción áurea, por favor, compártalo. He buscado mucho y no he podido encontrar nada.

¿Existe un estado de la técnica pertinente?

Answer 1

Migrando mis pensamientos desde comentarios debajo de mi respuesta a otra pregunta ...

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El cuadrado y el triángulo tienen poco que ver con la aparición de la proporción áurea aquí. La esencia de la construcción es ésta:

La figura tiene dos características destacadas:

1. $O$ se encuentra en la bisectriz de la arista $\overline{RS}$ del pentágono regular; y,
2. $B$ se encuentra en la perpendicular a $\overline{RS}$ a través de $S$ .

Esta información es todo lo que necesitamos para encontrar $\phi$ .

Desde $\triangle OAM \sim \triangle OBN$ tenemos $$\frac{a}{b} = \frac{\frac{1}{2}|\overline{AQ}|}{\frac{1}{2}|\overline{RS}|} = \frac{\text{diagonal of regular pentagon}}{\text{edge of regular pentagon}} = \phi = 1.618\dots$$

(aprovechando una conocida propiedad de los pentágonos regulares), y luego el carácter dorado del $a/b$ proporción pasa al objetivo $b/(a-b)$ porque así es exactamente como funciona la proporción áurea. :) $\qquad\square$

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Como escribo en mis comentarios de referencia:

$$\text{[T]he construction is } \textit{sneaky} \text{, in that it makes one think} \\ \text{ that the square and triangle matter, when they don't.}$$

Claro, la paridad y la imparidad de las aristas respectivas del cuadrado y del triángulo garantizan naturalmente que el segmento objetivo tiene un punto final en la bisectriz perpendicular, según la "característica saliente" $(1)$ y, al tener el cuadrado de tamaño y posición adecuados, hace que la perpendicular en $(2)$ una parte natural de la construcción, también. (Además, como menciona OP, el $3$ - $4$ - $5$ La progresión tiene cierto atractivo. También diré que yo como el aspecto furtivo. :) Aparte de eso, no entra en juego nada sobre la geometría particular de esos elementos: el triángulo podría ser simplemente isósceles; el cuadrado podría ser simplemente rectangular; y/o, cualquier número de figuras adicionales podría unirse a ellos (o sustituirlos) en la cadena. Simplemente no importa; siempre y cuando $(1)$ y $(2)$ se mantiene, la construcción produce la proporción áurea.

Por ejemplo, aquí hay una construcción comparativamente sospechosa que podría dar la (falsa) impresión de que el $5$ - $6$ - $7$ La progresión en el recuento de aristas de los componentes tiene alguna relación especial con $\phi$ :

Answer 2

Con $A$ el origen, girar todo para que $AG$ se encuentra en el $x$ -eje. Deja caer una perpendicular desde $H$ para cumplir con el $x$ -eje en $J$ . Ampliar el segmento $CE$ para cumplir con el segmento $HJ$ en el punto $K$ . La clave de la prueba es el hecho de que ese ángulo $\angle HEK$ tiene medida $18^\circ$ ya que cada ángulo interior de un pentágono regular es $108^\circ$ . Imagen (no a escala): Para simplificar los cálculos, supongamos que todas las aristas de la $n$ -Los globos tienen longitud 2. Mira el triángulo $AJH$ y observe que los segmentos $IK$ y $AJ$ son paralelos. Como el segmento $KJ$ tiene una longitud de 1, el teorema del divisor lateral da $$ \frac at=\frac 1h,\tag1 $$ es decir $\frac1h$ es la relación del segmento $a$ para segmentar $t$ . Pero $h=2\sin18^\circ$ y $\sin 18^\circ=(\sqrt 5-1)/4$ así que $$\frac1h=\frac1{2\sin 18^\circ}=\frac2{\sqrt 5-1},$$ la proporción áurea.

Answer 3

Inspirado por un comentario publicado por OP y por la respuesta dada por @Azul, aquí hay otras tres formas de combinar el pentágono regular, el cuadrado y el triángulo equilátero de lados iguales de manera que se divida un segmento entre los vértices en la proporción $\phi:1$ .

La idea básica es simplemente colocar el cuadrado de manera que proporcione parte de la perpendicular a una arista del pentágono en un extremo de esa arista, luego colocar el triángulo de manera que un vértice esté en la bisectriz de la misma arista del pentágono y de modo que un segmento desde ese vértice del triángulo hasta un vértice adecuado del pentágono intersecte una arista del cuadrado; el segmento así construido se cortará en la proporción $\phi:1$ por el borde del cuadrado. Me gusta más la última versión, que construye los tres polígonos en la misma arista, "orientados" en la misma dirección.

Para que quede claro, aquí hay una construcción sin el triángulo, sólo el cuadrado y el pentágono. El cuadrado se ha colocado de manera que una arista es colineal con una arista del pentágono y se superponga a esa arista, pero otra arista del cuadrado pasa por un vértice diferente del del pentágono. Esta es otra forma "furtiva" de utilizar el hecho de que la relación entre la diagonal de un pentágono y su arista es $\phi:1$ . El único propósito del cuadrado aquí es marcar un segmento igual a la arista del pentágono a lo largo de la diagonal del pentágono, algo que podría hacerse más sencillamente con un círculo que utilizara una arista del pentágono como uno de sus radios.

Answer 4

Esto no es una construcción de la proporción áurea.

Es la división de un segmento en partes cuya proporción es áurea, pero el segmento es inconmensurable con el resto de la figura, por lo que no es un construcción en el sentido clásico . También asume como dado un pentágono regular, que es prácticamente lo mismo que la proporción áurea. Por eso en la figura se puede encontrar el número áureo sin usar un compás. Lo que el diagrama describe es más bien una "construcción relativa" basada en alguna figura de partida cuya construcción no se especifica.

Dados un cuadrado y un pentágono regular con algún segmento en común (lado, inradio, circunradio) la proporción áurea siempre se puede exprimir del diagrama eventualmente, porque la proporción de lados es $a + b \sqrt{5}$ .

El significado euclidiano habitual de "construcción" de un número es exhibirlo como una longitud cuando se ha especificado otro segmento como unidad de longitud. Yo llamaría a este diagrama una "apariencia" de la proporción en un diagrama basado en un pentágono.

Answer 5

Siguiendo el espíritu de la respuesta de Blue, puedes ver que además de tu ejemplo de 3-4-5, también podríamos usar 5-4-5 o 7-4-5 o 9-4-5. Así que no hay nada especial en el "3" de 3-4-5.

El "4" tampoco es muy especial podrías usar cualquier rectángulo. O puedes omitirlo por completo, y dibujar simplemente la línea de puntos de Blue. Una línea es más sencilla que un cuadrado. Así que el pentágono es el que hace el trabajo pesado aquí.

Una de las principales razones por las que la gente ama la geometría y las matemáticas es porque en el transcurso de los juegos se descubren pequeñas y bonitas cosas como esta ¡todo el tiempo! Tu descubrimiento es realmente bonito. Hace bien en disfrutar de él. Pero es un descubrimiento demasiado pequeño como para esperar que se registre explícitamente el "estado de la técnica".

En cualquier diagrama con un pentágono, es difícil no para que aparezcan ratios dorados por todas partes. La gente no registra cada vez que ocurre esto. En cambio, se acostumbra a ello. Así que este descubrimiento es bonito, pero no sorprendente ni inesperado.

_{(Sí, soy consciente de que esta pregunta es muy antigua).}