Sea $X \sim N(0, 1)$ . Calcule $E(X^4)$

Question

Simplemente no entiendo cómo calcular el valor esperado de $X$ o $X^4$ para el caso. Intenté hacer la integral de $yf_x(y)dy$ de infinito negativo a infinito positivo pero no sé qué se supone que es y en este caso o qué $f_x(y)$ se supone que es. Por favor, ayuda.

Answer 1

Sea $f(\cdot)$ sea la PDF de $N(0,1)$ . Nota $$ f'(x)=-x f(x). $$ Por integración por partes, $$ \int x^4f(x)dx=\int(-x^3)f'(x)dx=\underbrace{(-x^3)f(x)\Big|_{-\infty}^\infty}_0+3\times\underbrace{\int x^2f(x)dx}_{\text{var of }N(0,1)}=3. $$

Answer 2

Sea $$g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-tx^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{t}}$$ $$g''(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x^4e^{-tx^2} = ?$$

Así que tenemos $$g''(1/2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^4e^{-x^2/2} = ? $$

Answer 3

En primer lugar, defina una variable aleatoria $Y\sim\text{Gamma}(p)$ ( $p>0$ ) si $Y$ tiene densidad $$ f_Y(y)=\frac{1}{\Gamma(p)}y^{p-1}e^{-y}\quad (y>0). $$ Es fácil ver que $EY^d=\frac{\Gamma(p+d)}{\Gamma(p)}$ por la definición de la función gamma.

Ahora, el problema. Sea $X$ sea una variable aleatoria normal estándar. Es bien sabido que $X^2\sim\chi^2_{(1)}$ o equivalentemente $X^2/2\sim\text{Gamma}(1/2)$ . Escriba a $X^2\stackrel{d}{=}2W$ donde $W\sim\text{Gamma}(1/2)$ . Entonces $$ EX^4=E(2W)^2=2^2EW^2=2^2\frac{\Gamma(1/2+2)}{\Gamma(1/2)}=2^2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+1\right)=1(3)=3$$ donde hemos utilizado el hecho de que $\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)$ . Podemos generalizar para calcular todos los momentos pares de una normal estándar. Para $k\geq 1$ $$ EX^{2k}=E(2W)^k=2^kEW^k=2^k\frac{\Gamma(1/2+k)}{\Gamma(1/2)}=2^k\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+1\right)\cdots \left(\frac{1}{2}+k-1\right). $$ Pero podemos simplificar aún más para obtener que $$ EX^{2k}=1(3)\cdots(2k-1)=\frac{(2k)!}{2^kk!}. $$