En $(1)$ y $(2)$ , t $\{f_n\}$ tiene una subsecuencia equivalente a una secuencia uniformemente integrable.

Question

Sea $(E,\mathcal{A},\mu)$ sea un espacio de medidas finito y $$ \mathcal{L}^1=\left\{f:E\to \mathbb{R}: \int_{E}{|f(t)|d\mu(t)}<\infty\right\} $$ Sea $\{f_n\}\subset \mathcal{L}^1$ tal que: $$ \sup_{n}{\int_{E}{|f_n(t)|d\mu(t)}}<\infty $$ Tal que, existe una subsecuencia $\{g_{m}\}$ de $\{f_n\}$ tal que para toda subsecuencia $\{g_{m_i}\}$ de $\{g_m\}$ $$ \{g_{m_i}1_{|g_{m_i}|\leq i})\}\text{ is uniformly integrable,} \qquad (1) $$ $$ \sum_{i\geq 1}{\mu\big(\{t\in E~:~|g_{m_i}(t)|>i \}\big)}<+\infty,\qquad (2) $$

Por qué : "De $(1)$ y $(2)$ vemos el resultado conocido de que $\{f_n\}$ tiene una subsecuencia equivalente a una secuencia uniformemente integrable. " ?

Answer 1

Si $f_n = 0$ para todos $n\in \mathbb{N}$ entonces $\{f_n\}$ es una subsecuencia uniformemente integrable. En caso contrario, $$\infty >\sup_n \int_E |f_n| \, d\mu >0,$$ en cuyo caso afirmo que la subsecuencia $\{g_m\}_{m=N}^\infty$ de $\{f_n\}$ es uniformemente integrable para un $N$ . Sea $\epsilon>0$ y $A\in \cal{A}$ . Ponga $$A_i = \{x \in E: |g_{i}(x)|> i\}.$$

A partir de (2), $\mu(A_i) \to 0$ como $i \to \infty$ . Elija $N \in \mathbb{N}$ tal que $i \geq N$ implica $$\mu(A_i) < \frac{\epsilon}{2\sup_n \int_E |f_n| \, d \mu}.$$

A partir de (1), elija $\delta >0$ tal que $i \in \mathbb{N}$ y $\mu(A) < \delta$ implica $$ \int_A |g_i| \cdot 1_{E\setminus A_i}\, d\mu < \frac{\epsilon}{2}. $$

Entonces $i \geq N$ y $\mu(A)<\delta$ implica

\begin{align*} \int_A |g_i| \, d\mu & = \int_{A\cap A_i} |g_i| \, d\mu + \int_{A\cap (E\setminus A_i)} |g_i| \, d\mu\\ & = \int_{E} |g_i|\cdot 1_{A\cap A_i} \, d\mu + \int_{E} |g_i| \cdot 1_{A\cap (E\setminus A_i)}\, d\mu\\ & \leq \mu(A_i) \cdot \sup_n |f_n| \, d\mu +\int_E|g_i| \cdot 1_{E\setminus A_i}\, d\mu\\ & < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\\ = \epsilon. \end{align*}

Esto demuestra que la subsecuencia $\{g_m\}_{m=N}^\infty$ de $\{f_n\}$ es uniformemente integrable.