Relación entre la renormalización wilsoniana y la renormalización contraterminal

Question

Renormalización wilsoniana La respuesta de Heider en este enlace señala que cuando integramos los modos de Fourier de alto momento, acabamos con Acción eficaz wilsoniana (no la acción 1PI). Esta es la forma moderna de entender la renormalización.

Quiero relacionarlo con la antigua forma de entender la renormalización, es decir, no a partir de un cálculo de integrales de trayectoria, sino como renomalización perturbativa (en la formulación hamiltoniana de la teoría de campos).

Renormalización de los contratérminos En esta técnica, (por ejemplo, en escalar $\phi^4-$ teoría) separa $\mathcal{L}$ en una parte renormalizada y una contraparte como $$\mathcal{L}=\mathcal{L}_{renorm}+\mathcal{L}_{ct}.$$ Ahora $\mathcal{L}_{renorm}$ contiene $V_r(\phi_r)=\frac{1}{2}m_r^2\phi_r^2+\frac{\lambda_r}{4!}\phi_r^4$ y el contratérmino contiene $$V_{ct}=\frac{1}{2}\delta_m\phi_r^2+\frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4$$ que anula ciertas divergencias de los diagramas de un bucle. El potencial $V(\phi_r)$ es ahora en términos de parámetros medidos $m_r^2$ y $\lambda_r$ .

Pregunta 1: Cuando se integran modos de alta frecuencia, se generan términos proporcionales a $\phi^2$ y $\phi^4$ que se parecen a los contraterminos. Mi pregunta es, podemos considerar el $\mathcal{L}_{ct}$ (en este enfoque) es igual a las contribuciones procedentes de la integración de los modos de alto momento (en la integral de la trayectoria) ?

Pregunta 2 Además, la renormalización del contratérmino es un proceso de renormalización en bucle. ¿Es lo mismo en la imagen wilsoniana? Además, estas dos formas de entender la renormalización deberían ser coherentes. ¿Puede alguien explicar la conexión entre la idea wilsoniana de renormalización y la renormalización de los contratérminos? .

Answer 1

Me gusta pensar en ello como se describe en este artículo por Shankar. En la renormalización contraterminal, estás estudiando esencialmente la renormalización wilsoniana, pero con la intención de enviar el corte al infinito al final (como es necesario para tener una definición continua de una teoría de campos). Las "divergencias" UV que aparecen en la teoría de perturbaciones son el resultado de tomar este límite de forma descuidada. Los contratérminos son una construcción matemática que permite tomar este límite con más cuidado. El hecho de que los contratérminos puedan ser diferentes dependiendo del esquema de renormalización, pero la física debe ser independiente de la elección del esquema, es lo que lleva a la idea de dependencia de escala y acoplamientos corrientes en la imagen de los contratérminos (por eso somos libres de usar MS, MS bar, o on shell, y no preocuparnos por conflictos en las predicciones). Desde este punto de vista, en la renormalización de los contratérminos, integramos los modos por encima de algún límite, lo que (como sabemos por la imagen wilsoniana) da resultados finitos para los acoplamientos como funciones del límite. A continuación, utilizamos este resultado para definir el límite continuo de la teoría de campo, empujando el límite hasta el infinito, lo que equivale a tomarlo como mucho mayor que cualquier escala de interés. Esto nos deja con unos contraterminos que capturan el comportamiento límite de la dependencia de corte necesaria para que exista el límite, y una escala de masa arbitraria que captura lo que la imagen wilsoniana nos dijo sobre el comportamiento de escala de la teoría. En cuanto a la otra parte de tu pregunta, sí, la renormalización wilsoniana puede hacerse en bucle. Por simetría, los diagramas de Feynman que aparecen en los cálculos perturbativos de la teoría de campos serán idénticos a los diagramas de Feynman que generan correcciones a los acoplamientos de los modos rápidos, con la única diferencia de que las integrales son ahora convergentes, tomadas sobre la envolvente del momento desde el punto de corte reducido hasta el punto de corte original.

Me gustaría añadir una nota adicional: la información sobrante de la renormalización wilsoniana de una teoría de campo renormalizable perturbativamente después de haber tomado el límite del continuo puede verse también como la información que nos habla de la anomalía de la invariancia de escala. Desde este punto de vista, la renormalización wilsoniana es una forma más cuidadosa de tratar cómo se comporta la invariancia de escala a nivel cuántico, estudiando la forma adecuada de aplicar una transformación de escala a la integral de trayectoria. Esto es análogo a cómo Fujikawa calculó la anomalía quiral; se fijó en el hecho de que la medida de la integral de trayectoria rompía la simetría. En este caso, no es tan "obvio" que la medida rompa la simetría, son las correcciones de bucle que aparecen en la acción efectiva wilsoniana las que rompen la simetría. Las funciones beta nos dicen exactamente cómo se rompe (o se conserva, en casos muy especiales !).

Espero que te haya ayudado.

Edición: Ha pasado algún tiempo desde que escribí la respuesta original, y no estoy completamente satisfecho con ella (recientemente me han vuelto a plantear algunas cuestiones relativas a estos conceptos). La descripción aquí es, por supuesto, muy aproximada. El punto de vista wilsoniano nos da una filosofía para entender las teorías de campo efectivo y por qué funciona la renormalización, pero en los cálculos involucrados se prefiere la forma antigua. Las ideas del "Grupo de Renormalización Exacta" son lo más cercano que existe para hacer precisa la conexión entre los puntos de vista, pero incluso en esos casos los cálculos en el esquema de Wilson son sencillamente intratables. Al final, todo se reduce a una cuestión de filosofía y pragmatismo. La mejor opción es utilizar la renormalización de contratérminos para calcular, y el punto de vista de Wilson para interpretar.

Answer 2

Es posible realizar la renormalización wilsoniana utilizando couterterms. Esta es la idea principal seguida por la escuela francesa de QFT constructiva en torno a Feldman, Magnen, Rivasseau y Sénéor. Puedes aprender sobre este punto de vista en el libro "De la renormalización perturbativa a la constructiva" de Vincent Rivasseau (especialmente el capítulo II.4 sobre la llamada expansión efectiva ). También puede encontrar el libro aquí .

La idea básica es introducir una multiescala ( Littlewood-Paley ) descomposición de su campo $\phi=\sum_{i=0}^{\infty}\phi_i$ donde los modos de Fourier de $\phi_i$ vivir en la cáscara $2^i<|p|<2^{i+1}$ . En presencia de un corte UV (que se eliminará al final), la suma se detiene en, digamos, algún número grande $n$ . Ahora un $\phi^4$ vértice con acoplamiento desnudo $g$ en la acción se convierte en $$ g\ \phi(x)^4=\sum_{i_1,i_2,i_3,i_4=0}^{n} g\ \phi_{i_1}(x)\phi_{i_2}(x)\phi_{i_3}(x)\phi_{i_4}(x)\ . $$ Esto se puede reescribir como $$ g\phi(x)^4=\sum_{i_1,i_2,i_3,i_4=0}^{n} g_{\max\{i_1,i_2,i_3,i_4\}}\ \phi_{i_1}(x)\phi_{i_2}(x)\phi_{i_3}(x)\phi_{i_4}(x)\ $$ $$ + \sum_{G} c_{G} \sum_{i_1,\ldots,i_4<i(G)} \phi_{i_1}(x)\phi_{i_2}(x)\phi_{i_3}(x)\phi_{i_4}(x)\ . $$ En $G$ son subgrafos divergentes (con cuatro patas externas) y $c_{G}$ es el contratérmino correspondiente. La escala de sustracción de un gráfico de este tipo denotada por $i(G)$ es el mínimo $i$ índice de líneas internas a $G$ . Por último, para que se cumpla la identidad, es necesario introducir acoplamientos de funcionamiento $g_i$ tal que $g_n=g$ (el acoplamiento desnudo) y determinado por un flujo wilsoniano (discreto) $$ g_{i-1}=g_i-\sum_{G} c_{G} $$ donde la suma es sobre todos los grafos con $i(G)=i$ .

En lugar de ampliar la teoría de perturbaciones en el único acoplamiento $g$ ahora se tiene una expansión en todos los $g_i$ y $c_G$ 's. Estas últimas se determinan imponiendo la cancelación de todas las partes locales ( $\tau$ en la renormalización BPHZ a la antigua) de los subgrafos divergentes $G$ . La diferencia con BPHZ es la siguiente. En BPHZ, los subgrafos $G$ se restan independientemente del orden de frecuencia relativa de las líneas internas frente a las externas. En el enfoque que he descrito (que no es más que una reformulación de la renormalización wilsoniana), estos subgrafos se restan sólo cuando son realmente peligrosos (producen divergencias UV), es decir, cuando las líneas internas son de mayor frecuencia que las externas. Las renormalizaciones BPHZ "inútiles" que se hacen cuando no se cumple esta condición no sólo no tienen nada que ver con la curación de las divergencias, sino que crean un nuevo problema, el de renormalons .