Tengo un ejercicio para ti sobre el dominio euclidiano.
Qué primos $p<30$ en $\mathbb{Z}$ es un primo en $ \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{-7}}{2} \right] $ ?
Muchas gracias por el apoyo, ¡se lo agradezco!
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Crostul
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Desde $ \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{-7}}{2} \right] $ es un dominio euclidiano, es un $PID$ . El polinomio mínimo de $\frac{1+\sqrt{-7}}{2}$ es $x^2-x+2 \in \mathbb{Z}[x]$ .
Dado un primo $p <30$ tienes que $p$ es primo en $ \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{-7}}{2} \right] $ sólo si $(p)$ es un ideal primo, es decir, es el único ideal primo que aparece en su factorización prima.
Para factorizar el ideal $(p)$ proceda como sigue:
1) Considere $x^2-x+2 \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]$ y tratar de factorizarlo.
2) Todo factor irreducible de $x^2-x+2$ corresponde a un factor primo del ideal $(p) \subset \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{-7}}{2} \right]$
Así que $(p)$ es un ideal primo si y sólo si $x^2-x+2 $ es un polinomio irreducible en $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]$
Para $p=2$ tenemos $x^2-x = x(x-1)$ Así que $2$ no es primo.
Para $p\geq 3$ tenemos que
$x^2-x+2$ es irreducible $\Leftrightarrow$ su discriminante no es un cuadrado en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow$ $-7$ no es un cuadrado módulo $p$ .
Usuario no registrado
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$3, 5, 13, 17, 19$ . Véase A003625 en la OEIS de Sloane.
Voy a asumir que querías decir $\mathbb{Z}[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-7}}{2}]$ . No sé si necesitas una prueba de que $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(-7)}$ es un dominio de factorización único, así que asumiré que sabes que esto es cierto.
Desde $-7 \equiv 1 \mod 4$ también tenemos que considerar los llamados "medios enteros" $\frac{a}{2} + \frac{b\sqrt{-7}}{2}$ con $a$ y $b$ ambos impar. Sin embargo, desde $-7 \equiv 1 \mod 8$ la norma de $\frac{a}{2} + \frac{b\sqrt{-7}}{2}$ es un número par, y como sólo hay un primo par, estos "medios enteros" sólo deben preocuparnos por
$$2 = \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-7}}{2}\right)\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-7}}{2}\right).$$
Y como estamos hablando de un anillo imaginario, la norma es siempre no negativa, y para cada primo $p$ sólo tenemos que resolver $p = x^2 + 7y^2$ o demostrar que no tiene soluciones, lo que podemos hacer calculando el símbolo de Legendre $\left( \frac{-7}{p} \right)$ .
Así que por supuesto $7 = (-1)(\sqrt{-7})^2$ . Entonces $11 = (2 - \sqrt{-7})(2 + \sqrt{-7})$ ; $23 = (4 - \sqrt{-7})(4 + \sqrt{-7})$ y $29 = (1 - 2\sqrt{-7})(1 + 2\sqrt{-7})$ . Los otros primos entre $1$ y $30$ no tienen tales factorizaciones y por lo tanto también son primos en $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(-7)}$ .
