Generalización del plano finito-proyectivo con más de un punto de intersección

Question

En un plano proyectivo finito cada dos puntos aparecen juntos en exactamente una línea, y cada dos líneas se cruzan en exactamente un punto. Se sabe que, si cada línea contiene $n+1$ puntos, entonces el número total de puntos y de líneas es $n^2+n+1$ .

¿Qué se sabe de una generalización de este concepto, en la que cada dos puntos aparecen juntos en exactamente $k$ líneas, y cada dos líneas se cruzan exactamente en $k$ ¿puntos? En particular, ¿para qué valores de $n,k$ ¿existen tales planos, y cuál es el número de rectas y puntos en ese caso?

Answer 1

Permítanme ajustar ligeramente la notación $k$ en el mensaje original suele ser un $\lambda$ en la literatura. Por lo tanto, el concepto que desea es el siguiente:

Definición. A simétrico $2-(v,k,\lambda)$ diseño es un par $(\Omega, \mathcal{B})$ donde $\Omega$ es un conjunto de tamaño $v$ y $\mathcal{B}$ es un conjunto de $k$ -subconjuntos de $\Omega$ tal que:

• 2 puntos cualesquiera de $\Omega$ mentir en $\lambda$ elementos de $\mathcal{B}$ ;
• 2 elementos cualesquiera de $\mathcal{B}$ se cruzan en $\lambda$ elementos de $\Omega$ .

Un argumento de recuento simple afirma que un objeto tiene la propiedad de que $b=|\mathcal{B}|=v$ . Si quieres saber cuándo existen estas cosas, el siguiente teorema debería ser tu punto de partida:

Teorema de Bruck-Ryser-Chowla . Si un simétrico $2-(v,k,\lambda)$ existe, entonces

• si $v$ es par, entonces $k-\lambda$ es un cuadrado;
• si $v$ es impar, entonces la siguiente ecuación diofantina tiene una solución no trivial: $$x^2-(k-\lambda)y^2 - (-1)^{(v-1)/2}\lambda z^2=0.$$

Se sabe más en casos especiales. Por ejemplo hay un famoso resultado de Lam, usando un ordenador, que afirma que una simétrica $2-(111,11,1)$ no existe (no hay ningún plano proyectivo de orden $10$ ).