Hola,
'ordinario' Stiefel-Whitney clases son elementos de la singular cohomology anillo y se construyen utilizando la Thom isomorfismo y Steenrod plazas. Así que yo creo que debe existir para cualquier (generalizada) multiplicativo cohomology teoría de que la Thom isomorfismo y cohomology de operaciones como la Steenrod plazas de existir. Si no estoy equivocado, yo sería muy feliz acerca de algunas referencias sobre este.
Gracias de antemano (y feliz navidad)
Jonas
Una bien estudiada ejemplo de esto son los "caníbales característica clases" de Adams y Bott. Si no recuerdo mal, hay una buena cuenta de ello en Bott "Lectures on K(X)"; ellos también son discutidos en Adams' J(X) trabajos (en la Topología en los mediados de los años 60).
El caníbal clases de $\theta_k(V)$ de un complejo paquete de $V\to X$ son definidos por la fórmula $$\psi^k(u) = \theta_k(V)\cdot u$$ donde $\psi^k$ es un Adams operación, y $u$ es el estándar de Thom clase en $K(\mathrm{Th}(V))$ (K-teoría de la thom espacio de $V$). Por lo tanto, el papel de Steenrod operaciones es desempeñado por el Adams operaciones.
El caníbal clases puede ser utilizado para detectar cuando dos haces de $V$ $V'$ no son "de forma estable fibra homotopy equivalente"; es decir, cuando la esfera de los fardos $S(V\oplus \mathbb{R}^m)$ $S(V'\oplus \mathbb{R}^m)$ no son de fibra de homotopy equivalente para todos los $m$. (Ver las referencias).
tal vez este no es el camino "correcto" para pensar acerca de ellos, pero a menudo me he encontrado la siguiente caracterización mucho más atractivo: la característica de las clases son solo elementos de $E^*(BG)$ para algunos cohomology teoría y algún grupo G, si E es ordinario cohomology con coeficientes enteros y G es la infinita grupo unitario se obtiene de las clases de chern etc. El universal propiedad de BG te ofrece un único mapa que clasifica cada uno de los G - bundle, ahora mira el mapa en cohomology que se obtiene de este y se obtiene el carácter de clase del lote que desea. probablemente esto se requiere de algún tipo de orientability para que las cosas sean "bonitas" pero sin duda se puede definir la característica de clases para cualquier cohomology teoría de esta manera, es posible que ellos no tienen buenas relaciones.
Stiefel-Whitney existen clases para cualquier real orientados a cohomology de la teoría. Esta es una (multiplicativo) cohomology teoría E equipado con un isomorfismo
$E^* ( \mathbb{R} P^{\infty} ) \cong E^*(pt) [[x]]$
Los dos ejemplos más conocidos son ordinario cohomology (es decir, singular cohomology) con $\mathbb{Z}/2$-coeficientes y también perdidos bordism teoría de la MO (esta es la Thom espectro MO, no "MathOverflow"). Tenga en cuenta que un isomorfismo no podría existir. Por ejemplo, no existe para el común de los Z cohomology, ni existe para la K-teoría.
La elección de este generador de x es el primer Stiefel-Whitney de la clase y las otras clases pueden ser construidos usando el principio de separación. Para esa teoría, usted tendrá Thom isomorphisms para todos los paquetes (no necesariamente orientadas).
Yo creo que todo esto es explicado en Switzer del libro "Topología Algebraica", pero no estoy seguro. El curso he aprendido de no tener un libro de texto. Esto es a menudo el material estándar para un segundo semestre de posgrado a nivel de topología algebraica, por lo menos en la UC Berkeley.
No es una verdadera respuesta a tu pregunta, pero creo que puede estar relacionado. Uno puede hacer la misma pregunta para las clases de Chern. Para algunos generalizada cohomology teorías se pueden definir las clases de Chern de vector complejo haces, y estas satisfacer la costumbre axiomas para las clases de Chern.
Lo que cambia es el producto tensor behviour. Dadas dos de la línea de paquetes de L y M, la primera clase de Chern $c_1(L \otimes M)$ es administrado por un poder universal de la serie en $c_1(L)$$c_1(M)$. Por ejemplo, en el ordinario cohomology $c_1(L \otimes M) = c_1(L) + c_1(M)$, mientras que en K la teoría de la $c_1(L \otimes M) = c_1(L) \cdot c_1(M)$. Desde la línea de paquetes de forma un grupo bajo el producto tensor, este poder es una serie (1-dimensional) grupo formal de la ley.
Así que para cualquier cohomology teoría puede adjuntar un 1-dimensional grupo formal. Por ejemplo conectar el aditivo grupo ordinario cohomology y el multiplicativo grupo de K-teoría. Resulta que usted puede ir al revés. El otro 1-dimensional grupo formal de las leyes son formales expansiones del grupo de derecho de una curva elíptica cerca del origen; estos dan lugar a los llamados elíptica cohomology teorías.
Creo que los detalles se pueden encontrar en las anteriores construcciones en referencia alguna acerca de la elíptica cohomology. Sólo he oído acerca de estas teorías, así que no sé una buena referencia. Por cierto, ya que yo no soy un experto, por favor me corrigen si algo he escrito más arriba está mal.
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