Escalado en PDE de transferencia de calor y grupo adimensional

Question

He encontrado lo siguiente en mi Escalado en la transferencia de calor notas:

Conducción de varillas

Una varilla de longitud $L$ inicialmente en $T_0$ entonces (en $t = 0$ ) un extremo se eleva a $T_1$ . Visite $T(x, t)$ .

$$T_t = \kappa T_{x x}$$

Escala

Escribimos

$$x = Lx', \ t = \tau t', \ T = T_0 + (T_1 - T_0) T'(x', t')$$

con $\tau$ aún desconocido. Esto da

$$T'_{t'} = \left[ \dfrac{\kappa \tau}{L^2} \right] T'_{x' x'}$$

Existe un grupo adimensional $[\cdot]$ y si elegimos $\tau = \dfrac{L^2}{\kappa}$ obtenemos el problema adimensional.

Lo que me confunde es cómo consiguieron $T'_{t'} = \left[ \dfrac{\kappa \tau}{L^2} \right] T'_{x' x'}$ ? Tenemos $T_t = \kappa T_{x x}$ pero ¿cómo $\kappa$ se sustituye por el grupo adimensional $\left[ \dfrac{\kappa \tau}{L^2} \right]$ ? ¿Cómo se justifica? ¿Cuál es el razonamiento que subyace a este cambio?

Agradecería mucho que la gente se tomara la molestia de aclararlo.

Answer 1

La EDP original es

$$\frac{\partial T}{\partial t} = [\kappa] \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$

Por la regla de la cadena, el lado izquierdo es:

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial T}{\partial t'} \frac{\partial t'}{\partial t} = \frac{\partial T}{\partial t'} \frac{1}{\tau}$$

Aplicación de la regla de la cadena dos veces a la derecha:

$$\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial T}{\partial x'} \frac{\partial x'}{\partial x} = \frac{\partial T}{\partial x'} \frac{1}{L}$$

$$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial T}{\partial x}) = \frac{1}{L} \frac{\partial}{\partial x'}(\frac{\partial T}{\partial x}) = \frac{1}{L^2} \frac{\partial}{\partial x'}(\frac{\partial T}{\partial x'}) = \frac{1}{L^2} (\frac{\partial^2 T}{\partial x'^2})$$

Substracción en la PDE

$$\frac{1}{\tau} \frac{\partial T}{\partial t'} = \left[\frac{\kappa}{L^2}\right] \frac{\partial^2 T}{\partial x'^2}$$

O

$$\frac{\partial T}{\partial t'} = \left[\frac{\kappa \tau}{L^2}\right] \frac{\partial^2 T}{\partial x'^2}$$

Espero que le sirva de ayuda.