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Demostrar que si A es contable, entonces también lo es clf(A) .

Sea B un conjunto y f:BmB . Por definición, dado un subconjunto AB el cierre de A en f denotado por clf(A) es el subconjunto más pequeño de B que contiene A y se cierra bajo f .

Demostrar que si A es contable, entonces también lo es clf(A) .

Mi pregunta es, ¿cómo puedo definir una función tal que clf(A)A .

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ManuelSchneid3r Puntos 116

No podrás encontrar una función así (supongo que quieres una inyectiva, ya que si no, no sacas nada). Para verlo, supongamos B=N,m=1,f(x)=x+1, y A={1} . Entonces clf(A)=N mientras que A es, por supuesto, finito.

El argumento de que clf(A) es contable si A tendrá que ser más abstracto. Para simplificar, supongamos que m=1 - así que f:BB . El cierre clf(A) puede desglosarse del siguiente modo:

  • Sea A0=A .

  • Una vez definido An , dejemos que An+1={f(x):xAn} .

Ahora podemos demostrar ( ejercicio ) que clf(A)=nNAn .

Ahora utilizamos el importante hecho ( ejercicio ) que la unión de un número contable de conjuntos contables es contable. Junto con el punto anterior, esto nos dice que bastará con demostrar que cada An es contable.

Así que ahora la pregunta es, ¿cómo hacemos que ? La respuesta es la inducción: queremos demostrar, por inducción sobre n que An es contable. Para n=0 es cierto por suposición (recuerde A0=A ).

Supongamos An es contable; ¿cómo sabemos que An+1 ¿también es contable? Esto se deduce del siguiente hecho más general ( ejercicio ): que si XB es contable, entonces {f(x):xX} es contable. Esto es algo así como la versión de "un paso" de lo que en realidad estás tratando de demostrar; ten en cuenta que en general {f(x):xX} est mucho más pequeño que clf(X) .

Así será la prueba:

  • Demuestra cómo podemos descomponer clf(A) en un número contable de piezas.

  • Demostrar que el "cierre de un paso" de un conjunto contable es contable.

  • Utilízalo para demostrar por inducción que cada pieza de clf(A) es contable, si A lo es.

  • Termina utilizando el hecho de que una unión contable de conjuntos contables es contable.


Tenga en cuenta que los ejercicios anteriores son en realidad de dos tipos distintos. El segundo y el tercero tratan directamente de la manipulación de conjuntos contables, mientras que el primero trata realmente de finito conjuntos (o mejor dicho, secuencias finitas).

Obsérvese también que los ejercicios primero y tercero se complican cuando pasamos de m=1 al caso general. En particular, la versión general del tercer ejercicio es una aplicación de una versión más fuerte del segundo ejercicio: que si tomo el producto cartesiano finito de conjuntos contables, el resultado sigue siendo contable. (Es un buen ejercicio demostrar que la palabra "finito" es necesaria allí: demuestre que el producto cartesiano de N -muchos ejemplares de {1,2} es incontable).

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