¿Cómo demostrar que esta función que implica min es continua?

Question

Supongamos que tengo una función continua $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ . Quiero considerar $G:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $$G(x_1, ..., x_m) = \min_{y \in D} F(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_{n-m})$$ donde $D$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n-m}$ . Estoy interesado en mostrar $G$ es continua. Agradeceríamos cualquier comentario. Muchas gracias.

Answer 1

Para simplificar la escritura tomaré el caso $n=m=1$ pero la prueba es la misma en general. Sea $N$ sea un número entero positivo y consideremos $F$ restringido a $\{(x,y): |x| \leq N, y \in D\}$ . Esta función es uniformemente continua porque es continua y el dominio es compacto. Sea $\epsilon >0$ y elija $\delta>0$ tal que $|F(x,y)-F(x',y')| <\epsilon$ siempre que $\|(x,y)-(x',y')\| <\delta$ . Entonces $F(x,y) <F(x',y)+\epsilon$ siempre que $|x| \leq N, |x'| \leq N$ , $|x-x'|<\delta$ y $y \in D$ . Concluya que $|G(x)-G(x')| <\epsilon$ siempre que $|x| \leq N, |x'| \leq N$ y $|x-x'|<\delta$ . Esto demuestra la continuidad de $G$ en $\{x: |x| \leq N\}$ . Desde $N$ es arbitraria hemos terminado.