Ecuación con conjugado complejo

Question

¿Puede alguien mostrarme cómo $$\frac{1-\bar{z}}{(1-z)(1-\bar{z})}=\frac{1-\bar{z}}{2(1-Re(z))}.$$

Answer 1

Pista: Utiliza el hecho de que $$Re(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}$$

Answer 2

Por cada $z \in\mathbb{C}\setminus \{1\}$ : $$\frac{1}{1-z}=\frac{1-\bar{z}}{(1-z)(1-\bar{z})}=\frac{1-\bar{z}}{1-z-\bar{z}+z\bar{z}}=\frac{1-\bar{z}}{1-2\Re{z}+|z|^2},$$ por lo tanto $$\frac{1-\bar{z}}{(1-z)(1-\bar{z})}=\frac{1-\bar{z}}{2(1-\Re(z))}$$ si $|z|=1.$

Answer 3

Sea $z=x+iy$

Anulando los numeradores obtenemos, $\{1-(x+iy)\}\{1-(x-iy)\}=2(1-x)$

o, $(1-x)^2-(iy)^2=2-2x$

o, $x^2+y^2=1\implies \mid z\mid =1$