Contraejemplo: $G \times K \cong H \times K \implies G \cong H$

Question

Estoy teniendo un tiempo difícil encontrar un contraejemplo para la instrucción: $G \times K \cong H \times K \implies G \cong H$

Creo que esto debe ser cierto para abelian, grupos finitos. Pero es cierto en general? Lo que sería un contraejemplo?

Cualquier sugerencias apreciado! Gracias

Answer 1

Vamos $G = \mathbb{Z} $, $H = \{1\}$, $K = \displaystyle\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$.

Answer 2

Los otros dos ejemplos son infinitamente generado. Sin embargo, en el grupo de teoría de la broma es a menudo probar resultados para finitely generados o (aún mejor!) finitely presentan grupos. Aquí, queremos mostrar que existe finitely presentado los grupos de $A, B, C, C^{\prime}$ tal que $A\times C\cong B\times C^{\prime}$, $C\cong C^{\prime}$ pero $A\not\cong B$. (Sé que esto va a ir lejos, muy lejos, por encima de su cabeza @misi, pero este estaba molestando toda la mañana. Infinitamente generado grupos no necesariamente son rescindibles (por las respuestas a esta pregunta), mientras que los grupos finitos (por las respuestas a un spin-off de la pregunta). Yo quería saber dónde está el punto de ruptura fue.)

Un grupo de $Q$ es cancelable si $A\times Q\cong B\times Q\Rightarrow A\cong B$ (para cualquier $A$).

El siguiente ejemplo demuestra que $\mathbb{Z}$ es no cancelable en general, y puede ser encontrado en [R. Hirshon, Sobre la Cancelación de los Grupos, La American Mathematical Monthly, Vol. 76, Nº 9 (Nov., 1969), pp 1037-1039]. Debo señalar que antes de empezar que parece Hirshon es más bien evasivo acerca de este resultado. Él usa la palabra "puede" en todo. El infinito cíclico grupo puede no ser cancelable en general. Me pregunto si él es justo decir que no se puede cancelarse en general, de manera que usted puede no ser capaz de cancelar? No estoy seguro. Ciertamente, no puedo ver donde su prueba de falla. Es, esencialmente, una completa prueba! (Me han señalado el bit que no está en su prueba, y han llenado.)

Deje $H$ ser el grupo dada por la presentación de $\langle a, y; a^{-1}ya=y^4, y^{1024}=y\rangle$.

Cosas a tener en cuenta:

• $H=C_{1024}\rtimes\mathbb{Z}$. Es decir, $H$ es un semidirect producto de la infinita cíclico grupo con el grupo cíclico de orden $1024$ por el automorphism $\phi: y\mapsto y^4$.
• $a^5$ centraliza $y$. Es decir, $a^{-5}ya^5=y$.
• $K=\langle a^2, y\rangle$ es no isomorfo a $H$. Tenga en cuenta que el grupo $K$ es todavía un semidirect producto, pero la automorphism ahora no $\phi$. El hecho de que $K$ $H$ son no isomorfos de la siguiente manera, por ejemplo, de la Proposición 2.1 de este documento. (Nota: Hirshon no demuestra que estos grupos no son isomorfos. Me pregunto si esto es lo que él estaba siendo cauteloso acerca de?)
• Hirshon quiere usted darse cuenta de que $2\cdot 2-1\cdot 5$ tiene valor absoluto $1$.

Ahora, para $\langle z\rangle$ un infinito cíclico grupo de la $G=H\times\langle z\rangle$. Escribir $w=z^2a^5$$M=\langle za^2, y\rangle$. Tenga en cuenta que $M\cong K\not\cong H$ (żpor qué?). A continuación, $G\cong M\times\langle w\rangle$, y hemos demostrado que $\mathbb{Z}$ es no cancelable en general.

Answer 3

Sugerencia:Dejar $$K = \mathbb Z \times \mathbb Z \times \cdots$$ ser countably muchas copias de $\mathbb Z$.