Demostrando que $\|A\|=\max(|a|,|b|)$ sur $C[a,b]$ para la multiplicación por $x$ operador

Question

Sea $$X=C[a,b] \ , A||{\Psi}||_\infty=\underset{a\leq x\leq b}{\max}|\Psi(x)|$$ Sea $A$ sea la multiplicación por $x$ .

Quiero demostrar que $$||A||=\max(|a|,|b|)$$

Solución:

$$||{A}||=\underset{a\leq ||x||\leq b}{\sup}||{x}||=\sqrt{x^2}$$ que da

$$a x||\Psi||_{\infty} \leq x\cdot x |\Psi(x)| \leq b x||\Psi||_{\infty}$$

Entonces tenemos $||A\Psi(x)|| =a x||\Psi||_{\infty} \leq x ^2|\Psi(x)| \leq bx ||\Psi||_{\infty}$ .

Por lo tanto

$$ax ||\Psi||_{\infty} \le||A \Psi||_{\infty} \le bx ||\Psi||_{\infty}.$$

$$||A \Psi||_{\infty} =bx =bx ||\Psi||_{\infty} \longrightarrow ||{A}||\leqslant xb$$

Por lo tanto

$$||A||\le xb.$$

Pero no puedo encontrar una buena manera de demostrar que esto también debe implicar que $$||A||=max(|a|,|b|)$$ .

Así que probé esto:

A continuación, demostramos que $||A||=\max(|a|,|b|)$ donde $A$ es el operador de multiplicación. Basta con demostrar que para la métrica

$$d(x,y)=|x(t)-y(t)|=\underset{a\le t\le b}{sup}\sqrt{ x(t)^2+y(t)^2}\leq \epsilon $$

y puesto que $$\underset{a\le t\le b}{\max}\sqrt{ x(t)^2+y(t)^2}\leq \epsilon$$

entonces

$$A||{\Psi}||_\infty=\underset{a\leq x\leq b}{\max}|\Psi(x)|\leq \epsilon$$

ya que la norma del operador de multiplicación tiene las siguientes propiedades:

$$||{A}||=||xf||=||x||\cdot||f||=||{x}||\cdot\underset{a\le t\le b}{\max}|x-y|$$

y como operamos en el intervalo $[a,b]$ obtenemos:

$$||{A}||={\max}(|a|,|b|)$$

Pero no estoy seguro de que esto sea suficiente.

Gracias

Answer 1

Parece haber un cierto malentendido tanto sobre el papel de la $A$ y la definición de la norma del operador. $A:X \to X$ se define simplemente, para cualquier $f\in X$ sea la función $Af$ que se define para cualquier $x\in[a,b]$ por $(Af)(x)=xf(x)$ . La norma de $A$ es la norma habitual del operador (que denotaremos $\|\cdot\|_{op}$ para distinguirla de la norma sobre $X$ ), que se define por $$\|A\|_{op}:=\sup_{\|f\|\leq 1}\|Af\|=\sup_{\|f\|\leq 1}\max_{x\in[a,b]}|xf(x)|. $$ Ahora bien, para todos esos $f$ sobre el que estamos tomando el supremum, $|f(x)|\leq 1$ para todos $x\in[a,b],$ lo que significa que $$\|A\|_{op}\leq \max_{x\in[a,b]}|x|=\max\{|a|,|b|\}.$$ Por último, obsérvese que para cualquier $g\in X$ con $\|g\|\leq 1$ tenemos, por definición, que $\sup_{\|f\|\leq 1} \|Af\|\geq\|Ag\|$ . Ahora ajuste $g=\mathbf 1$ donde $\mathbf 1(x)=1$ para todos $x\in [a,b]$ . Así $$\|A\|_{op}\geq\|Ag\|=\max_{x\in[a,b]}|x\mathbf 1(x)|=\max_{x\in[a,b]}|x|=\max\{|a|,|b|\}.$$ Combinando las dos desigualdades anteriores se obtiene el resultado.