Agradecería si alguien me pudiera ayudar con el siguiente problema.
P: ¿Cómo podemos hallar la suma?
$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{2n}(-1)^k\left(\frac{k}{2n}\right)^{100}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$$ \sum_{k=1}^{2n}(-1)^k(\frac{k}{2n})^{100} = \sum_{k=1}^{n}[(\frac{k}{n})^{100} - (\frac{k-1/2}{n})^{100}] $$ Sea $f(x) = x^{100}$ . Sabemos que es una función convexa y $$ f'(\frac{k-1/2}{n})\cdot (\frac{k}{n} - \frac{k-1/2}{n}) \leq (\frac{k}{n})^{100} - (\frac{k-1/2}{n})^{100} \leq f'(\frac{k}{n})\cdot (\frac{k}{n} - \frac{k- 1/2}{n}) $$ Eso es, $$ 50\cdot (\frac{k-1/2}{n})^{99} \cdot \frac{1}{n} \leq (\frac{k}{n})^{100} - (\frac{k-1/2}{n})^{100} \leq 50\cdot (\frac{k}{n})^{99}\cdot \frac{1}{n} $$ Tenemos $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n(\frac{k-1/2}{n})^{99}\cdot\frac{1}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n(\frac{k}{n})^{99}\cdot\frac{1}{n}=\int_0^1 x^{99}dx = \frac{1}{100} $$ Por lo tanto, $$ \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k(\frac{k}{2n})^{100} = \frac{1}{2} $$
