Demostrar que si $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ es un número entero siempre que $x$ es un número entero, entonces $2A$ , $A+B$ y $C$ también son números enteros.

Question

Demostrar que si $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ es un número entero siempre que $x$ es un número entero, entonces $2A$ , $A+B$ y $C$ también son números enteros.

He intentado hacerlo muchas veces, pero no consigo hacerlo exactamente bien.

Answer 1

Tenemos

$f(x) = Ax^2 + Bx + C; \tag{1}$

configure $x = 0$ un número entero. Entonces tenemos

$f(0) = C, \tag{2}$

así que $C$ es un número entero. Establecer $x = 1$ Entonces

$f(1) - C = A + B, \tag{3}$

mostrando $A + B$ es un número entero. Establecer $x = -1$ Entonces

$f(-1) - C = A - B \tag{4}$

también es un número entero. Dado que

$2A = (A + B) + (A - B), \tag{4}$

vemos que $2A$ también es un número entero. Observación

$2B = (A + B) - (A - B) \tag{5}$

también vemos $2B$ es un número entero, "gratis". Me parece que el laboratorio bhattacharjee estaba en lo cierto, aunque yo lo resolví por mí mismo, simultáneamente, por así decirlo. Lindo, debo decir

Espero que le sirva de ayuda. Hasta luego,

y como siempre,

¡¡¡Fiat Lux!!!

Answer 2

Sugerencia $\displaystyle\,\ f(x) = ax^2\!+bc+c\, =\, 2a\, \dfrac{x(x\!-\!1)}2 + (a\!+\!b)\, x + c \,=\, 2a {x \choose 2} + (a\!+\!b) {x\choose 1} + c{x\choose 0}$

Lema $\ $ Si $\displaystyle\ f(x)\, =\, c_2 {x \choose 2} + c_1 {x \choose 1} + c_0{x\choose 0}\ $ entonces $\ f(0),f(1),f(2)\in\Bbb Z\,\Rightarrow\, c_i\in \Bbb Z$

Prueba $\ f(0) = c_0\in \Bbb Z\,$ así que $\, f(1) = c_0\!+\!c_1\in\Bbb Z\Rightarrow c_1\in\Bbb Z\,$ así que $\, f(2) = c_0\!+\!2c_1\! +\! c_2\in\Bbb Z\,\Rightarrow\,c_2\in\Bbb Z$

Observación $\ $ El resultado análogo (y su inverso) es cierto para un grado arbitrario, lo que conduce a un famoso resultado de Polya y Ostrowski sobre polinomios de valor entero